........第二节积分的计算(一)不定积分的计算常见基本积分公式∫tanxdx=−ln|cosx|+C.∫cotxdx=ln|sinx|+C.∫secxdx=ln|secx+tanx|+C.∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C.∫dxa2+x2=1aarctanxa+C.∫dxx2−a2=12aln���x−ax+a���+C.∫dx√a2−x2=arcsinxa+C.∫dx√x2+a2=ln(x+√x2+a2)+C.∫dx√x2−a2=ln|x+√x2−a2|+C........第一类换元法设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式∫f(φ(x))φ′(x)dx=[∫f(u)du]����u=φ(x).第二类换元法设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ′(t)̸=0.又设f(ψ(t))ψ′(t)具有原函数，则有换元公式∫f(x)dx=[∫f(ψ(t))ψ′(t)dt]����t=ψ−1(x),其中ψ−1(x)是x=ψ(t)的反函数........常用变量代换(i)∫f(x,n√ax+b)dx.设t=n√ax+b.(ii)∫f(x,n√ax+bcx+d)dx.设t=n√ax+bcx+d.(iii)∫f(x,√a2−x2)dx.设x=asint或x=acost.(iv)∫f(x,√a2+x2)dx.设x=atant.(v)∫f(x,√x2−a2)dx.设x=asect.(vi)∫f(x)xnφ(x)dx.设x=1t.........例6..计算下列不定积分.(1)∫x2(x+2)3dx.(2)∫sin2xcos4xdx.(3)∫sec6xdx.(4)∫1−x√9−4x2dx.(5)∫dx√(x2+1)3......................分部积分公式∫uv′dx=uv−∫u′vdx或∫udv=uv−∫vdu.........例7..计算下列不定积分.(1)∫xarctanxdx.(2)∫exsinxdx.(3)∫sec3xdx......................有理函数积分将有理函数写成多项式加真分式的形式，并对真分式进行部分分式分解，再分别积分.∫Ax−adx=Aln|x−a|+C.∫A(x−a)kdx=A1−k(x−a)1−k+C，k̸=1.∫Mx+Nx2+px+qdx，可以拆分为两种基本类型.(2x+p)·M2x2+px+q积分−−→M2ln(x2+px+q)+C.N−pM2(x+p2)2+q−p24积分−−→2(N−pM2)√4q−p2arctan2x+p√4q−p2+C........部分分式分解对真分式P(x)Q(x)，1⃝若Q(x)含有因式(x−a)k，则分解后所得表达式包含A1x−a+A2(x−a)2+···+Ak(x−a)k,其中A1，A2，···，Ak均为常数.2⃝若Q(x)含有因式(x2+px+q)k，其中p2−4q<0，即二次三项式x2+px+q无实根，则分解后所得表达式包含M1x+N1x2+px+q+M2x+N2(x2+px+q)2+···+Mkx+Nk(x2+px+q)k,其中Mi，Ni(i=1,2,···,k)均为常数.........例8..计算∫2x+3x2+x+1dx........思考(1999，二)∫x+5x2−6x+13dx=.(2022，二)∫102x+3x2−x+1dx=.(2022，三)∫202x−4x2+2x+4dx=.........例9..求不定积分∫3x+6(x−1)2(x2+x+1)dx...............(二)定积分的计算微积分基本定理若函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则∫baf(x)dx=...
