1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】对函数两边对求导,得令得所以该曲线在点处的切线的斜率为,所以切线方程是即为所求.(2)【答案】【解析】因系数,从而即幂级数的收敛半径,当时幂级数绝对收敛.当时得交错级数(条件收敛)；当时得正项级数(发散).于是,幂级数的收敛域是.(3)【答案】【解析】个方程个未知数的齐次方程组有非零解的充分必要条件是,因为此时未知数的个数等于方程的个数,即为方阵时,用判定比较方便.而所以当时.所以此题应填:.(4)【答案】,【解析】由于任何随机变量的分布函数是右连续函数,因此对任何,有.对于,有令,得到,其中.又因在处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此所以(5)【答案】【解析】由切比雪夫不等式,有.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有.所以与是同阶但非等价无穷小量.(2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,为常数.故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C)【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开阶行列式,则应当是个阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若,则.而且存在时,不一定都存在,所以选项(D)是错误的.由行列式乘法公式知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设事件“甲种产品畅销”,事件“乙种产品滞销”,则事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为则“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】这是型未定式求极限.设,则当时,.于是,令,则时,所以,所以,由洛必达法则得,所以.(2)【解析】方法一：先求,再求.由复合函数求导法则,故.方法二：利用一阶全微分形式不变性...
