2011-2012学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷.doc

馨雅资源网 2011-2012学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）已知2x=3y（x≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（　　） A．2 B．1 C．﹣3 D． 3．（4分）如果⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和1cm，且O1O2=2cm．则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 5．（4分）将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是（　　） A． B．2 C． D． 6．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（4分）如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），△AMN的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 9．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A=　 　度． 10．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于　 　． 11．（4分）若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是　 　cm． 12．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC=20°，点D是弧CAB上一点，若∠ABC=20°，则∠D的度数是　 　． 13．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），x与y的部分对应值如下表，则当x=　 　或　 　时，y=0． 14．（4分）我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”． 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3． （1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是　 　； （2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2=　 　；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an=　 　．（n为正整数） 三、解答题（本题共20分，每小题5分） 15．（5分）计算：2cos30°+sin45°﹣tan60° 16．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3． （1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 17．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，连接BD，过点C作CE⊥BD于交AB于点E，垂足为点H，若AD=2，AB=4，求sin∠BCE． 18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式． 四、解答题（本题共22分，第19、22题每小题5分，第21、22题每小题5分） 19．（5分）如图，天空中有一个静止的热气球A，从地面点B测得A的仰角为30°，从地面点C测得A的仰角为60°．已知BC=50m，点A和直线BC在同一垂直平面上，求热气球离地面的高度． 20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O． （1）在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BC为⊙O的切线； （3）若AC=3，tanB=，求⊙O的半径长． 21．（6分）某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据： 售价x（元∕件） … 30 40 50 60 … 日销售量y（件） … 500 400 300 200 … （1）若日销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式； （2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22．（5分）小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O处，两条直角边与抛物线y=ax2（a＜0）交于A、B两点． （1）如图1，当OA=OB=2时，则a=　 　； （2）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转到如图2所示的位置时，过点B作BC⊥x轴于点C，测得OC=1，求出此时点A的坐标； （3）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段AB总经过一个定点，请直接写出该定点的坐标． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+nx﹣2与直线y=x﹣1交于A（﹣1，a）、B（b，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）点P（t，0）是x轴上的一个动点．过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范围． 24．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G， （1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是　 　； （2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明； （3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是　 　． 25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y1=﹣x2+2x． （1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式． （2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2011-2012学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）已知2x=3y（x≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决． 【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B选项正确， 故选：B． 【点评】本题考查的是等式的性质： 等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等； 等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等． 2．（4分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（　　） A．2 B．1 C．﹣3 D． 【分析】根据函数的解析式直接解答即可． 【解答】解：由二次函数的解析式可知此函数的最小值是2． 故选：A． 【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知二次函数顶点式即y=a（x+h）2+k的形式． 3．（4分）如果⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和1cm，且O1O2=2cm．则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【分析】先求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较，得出结论． 【解答】解：∵R﹣r=3﹣1=2=d， ∴两圆内切，故选D． 【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）． 4．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】设△DEF的面积为x，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【解答】解：设△DEF的面积为x， ∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的面积为4， ∴=（）2=，解得x=16． 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5．（4分）将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据角的正切值=对边÷邻边求解． 【解答】解：由图可得，tanα=4÷2=2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是此题的关键． 6．（4分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB． 【解答】解：如右图，连接OA， ∵半径OC⊥AB， ∴AE=BE=AB， ∵OC=5，CE=2， ∴OE=3， 在Rt△AOE中，AE==4， ∴AB=2AE=8， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE． 7．（4分）如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 【分析】设PN=a，PM=b，根据P点在第二象限得P（﹣a，b），根据矩形的面积公式及反比例函数解析式求k的值． 【解答】解：设PN=a，PM=b， 则ab=6， ∵P点在第二象限， ∴P（﹣a，b），代入y=中，得 k=﹣ab=﹣6，故选C． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．过反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为反比例函数系数k的绝对值． 8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），△AMN的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】△AMN以AM为底边，分点N在AD上运动与在DC上运动两段，根据三角形的面积公式分别求出运动时的y与x之间的函数关系，然后根据二次函数图象与一次函数图象观察各选项中的图象即可得解． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm， AD+DC=AB+AD=4+2=6cm， ∵点M以每秒1cm的速度运动， ∴4÷1=4秒， ∵点N以每秒2cm的速度运动， ∴6÷2=3秒， ∴点N先到达终点，运动时间为3秒， ①点N在AD上运动时，y=AM•AN=x•2x=x2（0≤x≤1）； ②点N在DC上运动时，y=AM•AD=x•2=x（1≤x≤3）， ∴能反映y与x之间的函数关系的是D选项． 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 9．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A=　30　度． 【分析】根据sin30°=解答即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∵sin30°=， ∴∠A=30°． 【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可． 10．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于　8　． 【分析】由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，又由AD：AB=3：4，AE=6，即可求得AC的值． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AD：AB=3：4，AE=6， ∴， ∴AC=8． 故答案为：8． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 11．（4分）若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是　π　cm． 【分析】弧长公式是l=，代入就可以求出弧长． 【解答】解：弧长是：=πcm． 故答案为：π． 【点评】此题考查了扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键． 12．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC=20°，点D是弧CAB上一点，若∠ABC=20°，则∠D的度数是　70°　． 【分析】由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，再由∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，由同弧所对的圆周角相等得到所求的角与∠BAC的度数相等，进而确定出所求角的度数． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，又∠ABC=20°， ∴∠BAC=70°， ∵∠D和∠BAC都为所对的圆周角， ∴∠D=∠BAC=70°． 故答案为：70° 【点评】此题考查了圆周角定理，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 13．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），x与y的部分对应值如下表，则当x=　0　或　2　时，y=0． 【分析】由表格可知，（0，0），（2，0）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出y=0时，横坐标的值． 【解答】解：观察表格可知， 当x=0或2时，y=0． 【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，与x轴（y轴）的交点，确定二次函数的解析式． 14．（4分）我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”． 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3． （1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是　2　； （2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2=　　；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an=　　．（n为正整数） 【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论． （2）由正方形的性质可以得出△EIH∽△EDA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值． 【解答】解：（1）四边形CDEF是正方形， ∴EF=FC，EF∥FC， ∴△BFE∽△BCA， ∴．设EF=FC=a， ∴， ∴a=2， 故答案是：2 （2）如图（2）四边形DGHI是正方形， ∴IH=ID，IH∥AD， ∴△EIH∽△EDA， ∴，设IH=ID=b，AD=4，DE=2， ∴， ∴b=， 故答案是：， 如图（3）由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：=， ∴第4的个正方形的边长为：=… ∴第n个内接正方形的边长an= 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及规律的探索． 三、解答题（本题共20分，每小题5分） 15．（5分）计算：2cos30°+sin45°﹣tan60° 【分析】先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式=， =， =． 故答案为：． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 16．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3． （1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【分析】（1）利用配方法把二次函数y=x2﹣2x﹣3化为顶点式，即可得出其对称轴方程及顶点坐标； （2）根据x、y轴上点的坐标特点分别另y=0求出x的值，令x=0求出y的值即可． 【解答】解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴是x=1，顶点坐标是（1，﹣4）； （2）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，解得x1=1，x2=3； 令x=0，则y=﹣3． ∴图象与x轴交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标是（0，﹣3）． 【点评】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与x轴的交点及配方法的应用，熟知以上知识是解答此题的关键． 17．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，连接BD，过点C作CE⊥BD于交AB于点E，垂足为点H，若AD=2，AB=4，求sin∠BCE． 【分析】在图中用阿拉伯数字标注角，然后根据垂直定义以及直角推出∠BCE=∠ABD，在Rt△ABD中根据勾股定理求出BD的长，再根据锐角三角函数的定义求出∠ABD的正弦，即为sin∠BCE． 【解答】解：如图，∵CE⊥BD， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2， ∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠A=90°， 在Rt△ABD中，AD=2，AB=4， 由勾股定理得，BD===2， ∴sin∠2===， ∴sin∠BCE=． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角梯形，勾股定理以及锐角三角函数的定义，根据直角的关系推出∠BCE=∠ABD，把求∠BCE的正弦转化为求∠ABD的正弦是解题的关键． 18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式． 【分析】根据直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，求出直线l的解析式，把点A（a，3）代入可求出a的值，从而求出反比例函数的解析式． 【解答】解：依题意得，直线l的解析式为y=x． 因为A（a，3）在直线y=x上， 则a=3． 即A（3，3）． 又因为A（3，3）在y=的图象上， 可求得k=9， 所以反比例函数的解析式为y=． 【点评】本题考查的是一次函数图象的几何变换，及用待定系数法求反比例函数的解析式，属中等难度题目． 四、解答题（本题共22分，第19、22题每小题5分，第21、22题每小题5分） 19．（5分）如图，天空中有一个静止的热气球A，从地面点B测得A的仰角为30°，从地面点C测得A的仰角为60°．已知BC=50m，点A和直线BC在同一垂直平面上，求热气球离地面的高度． 【分析】过点A作AD⊥BC，交BC于点D；本题涉及到两个直角三角形△ADC、△ABD，应利用其公共边AD构造等量关系，解三角形可得AD与AC的关系；进而可求出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADC=90°， ∵∠B=30°，∠ACD=60°， ∴∠1=30°， ∴∠1=∠B，∴CA=CB=50m， 在Rt△ACD中，sin∠ACD=， ∴， ∴AD=25m． 答：热气球离地面的高度是25米． 【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O． （1）在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BC为⊙O的切线； （3）若AC=3，tanB=，求⊙O的半径长． 【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上； （2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线； （3）根据∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长度． 【解答】（1）解：如图，（2分） （2）证明：连接OD． ∵OA=OD， ∴∠1=∠2， ∵∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥AC．（3分） 又∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，（5分） ∴BC是⊙O的切线；（6分） （3）解：在Rt△ABC中，AC=3，tanB=． ∴BC=4， ∴AB==5，（7分） ∵OD∥AC， ∴△OBD∽△ABC，（8分） 所以， ∴OA=OD=， ∴⊙的半径为． 【点评】本题综合考查了切线的判定，解直角三角形和相似三角形的性质应用． 21．（6分）某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据： 售价x（元∕件） … 30 40 50 60 … 日销售量y（件） … 500 400 300 200 … （1）若日销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式； （2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式即可， （2）利润=销售总价﹣成本总价=单件利润×销售量．据此得表达式，运用性质求最值； 【解答】解：（1）设y=kx+b（k≠0）． ∴， 解得：， ∴y=﹣10x+800； （2）W=y（x﹣20）=（x﹣20）（﹣10x+800）， =﹣10（x﹣50）2+9000， ∴当售价定为50元时，工艺厂每天获得的利润W最大，最大利润是9000元． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，由图象过两点利用待定系数法即可确定函数关系式以及利用配方法求二次函数的最值是考查重点，同学们应重点掌握． 22．（5分）小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O处，两条直角边与抛物线y=ax2（a＜0）交于A、B两点． （1）如图1，当OA=OB=2时，则a=　﹣　； （2）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转到如图2所示的位置时，过点B作BC⊥x轴于点C，测得OC=1，求出此时点A的坐标； （3）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段AB总经过一个定点，请直接写出该定点的坐标． 【分析】（1）根据二次函数图象的对称性以及等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，然后代入函数解析式，计算即可求出a的值； （2）根据OC=1可知点B的横坐标为1，再根据二次函数解析式求出点B的纵坐标，从而得到BC的长度，再过点A作推出AD⊥x轴于点D，然后推出△DAO与△COB相似，然后设出点A的坐标并表示出OD、AD的长度，根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算即可得解； （3）根据二次函数解析式，设点A、B的坐标分别为A（m，﹣m2）、B（n，﹣n2），根据相似三角形对应边成比例列式求出mn=2，再利用待定系数法列式求出直线AB的解析式，根据解析式的常数项是常数﹣即可得解． 【解答】解：（1）∵OA=OB=2， ∴等腰Rt△AOB关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣，﹣）， ∴a（﹣）2=﹣， 解得a=﹣； （2）由（1）可知抛物线的解析式为y=﹣x2， ∵OC=1， ∴yB=﹣， ∴B（1，﹣）， 过点A作AD⊥x轴于点D，又BC⊥x轴于点C， ∴∠ADO=∠BCO=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵AO⊥OB， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， ∴△DAO∽△COB， ∴=， 设点A坐标为（x，﹣x2），则OD=﹣x，AD=﹣x2， ∴=， 解得x=﹣2， ∴yA=﹣2， 故点A的坐标为（﹣2，﹣2）； （3）定点坐标是（0，﹣）． 理由如下：根据（1）的结论，设点A、B的坐标为A（m，﹣m2）、B（n，﹣n2）， 根据（2）△DAO∽△COB， ∴=， 即=， 整理得，mn=﹣2， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴b=﹣2×=﹣， ∴三角板绕点O旋转任意角度时，直线AB的倾斜发生变化，但总是与y轴相交于点（0，﹣）， 即线段AB总经过一个定点（0，﹣）． 【点评】本题是对二次函数的综合考查，有等腰直角三角形的性质，坐标与图形的变化，相似三角形的判定与性质，旋转变换的性质，待定系数法求函数解析式，综合性较强，难度较大． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+nx﹣2与直线y=x﹣1交于A（﹣1，a）、B（b，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）点P（t，0）是x轴上的一个动点．过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）先把A、B的坐标代入直线的解析式，求出a、b的值求出A、B的坐标，再将A、B的坐标代入抛物线的解析式求出m、n的值就可以求出抛物线的解析式． （2）当x=0时求出y的值，就求出C的坐标，求出△ABC的高，再根据三角形的面积公式就可以求出其值． （3）根据（1）的A、B的坐标的横坐标就可以确定t的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线与直线交于点A、B两点， ∴， 解得：． ∴A（﹣1，﹣2），B（1，0）． ∴， 解得：． ∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2． （2）点A（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2）， ∴AC∥x轴，AC=1． 过点B作AC的垂线，垂足为点D，则BD=2． ∴S△ABC=AC•BD=×1×2=1． （3）∵点M位于点N的上方，且A（﹣1，﹣2），B（1，0）， ∴﹣1＜t＜1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组的关系，平行线的性质，三角形的面积． 24．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G， （1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是　EF=EG　； （2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明； （3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是　　． 【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG； （2）根据已知首先求出∠ENG=∠FEM，再得出∠ENG=∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可． 【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=∠ABC=45°， ∴AD=CD， ∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC， ∴EN=AD， ∴EM=CD， ∴EN=EM， ∵∠GEB=90°，∠MEN=90°， ∴∠NEF=∠GEM， ∴， ∴△EGM≌△EFN，（ASA） ∴EG=EF （2） 证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N， ∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°． ∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDA=90°． ∴EM∥AD．∠A=∠CEM． ∴△EMC∽△ANE．∴ ∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠1+∠2=90°． ∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°， ∴∠MEF=∠GEN． ∴△EFM∽△EGN．∴． ∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN． ∴， ∴ ∵， ∴． （3）∴ 证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N， ∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°． ∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDA=90°． ∴EM∥AD．∠A=∠CEM． ∴△EMC∽△ANE．∴ ∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠2+∠3=90°． ∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°， ∴∠MEF=∠GEN． ∴△EFM∽△EGN．∴． ∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN． ∴， ∴ ∵ ∴， 故答案为：（1）EF=EG，（3） 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用． 25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y1=﹣x2+2x． （1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式． （2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先利用配方法，把y1化为顶点式，直接利用二次函数平移的规律求出平移后的二次函数的顶点坐标问题得解； （2）假设符合条件的N点存在，利用平行四边形的性质和三角形全等，找出点N到x轴的距离，即抛物线的纵坐标，代入解析式，解方程解决问题即可． 【解答】解：（1）依题意抛物线：y1=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1， ∴其顶点坐标为（1，1） 当把C1向右平移2个单位，再向上平移1个单位时， 抛物线C2的顶点P的坐标为（3，2） ∴C2的解析式为y2=﹣（x﹣3）2+2； （2）符合条件的N点存在． 如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN， ∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B ∴∠PAO=∠MBN=90°， ∴△POA≌△NMB（AAS）， ∴PA=BN， ∵点P的坐标为（3，2）， ∴NB=PA=2， ∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点 ∴符合条件的N点只能在x轴下方， 当点N在C1上时，y1=﹣2，即﹣2=﹣（x﹣1）2+1， 解得：x=1±， ∴N1（1+，﹣2），N2（1﹣，﹣2）； 当点N在C2上时，y2=﹣2，即=﹣（x﹣3）2+2=﹣2， 解得：x=5或1， ∴N3（5，﹣2），N4（1，﹣2）， ∴满足条件的点N有4个，分别是N1（1+，﹣2）、N2（1﹣，﹣2）、N3（5，﹣2）、N4（1，﹣2）． 【点评】此题考查利用平移的规律求二次函数顶点式解析式，利用平行四边形的性质、三角形的全等与性质以及二次函数图象上点的坐标特征解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2018/12/11 22:55:21；用户：金雨教育；邮箱：309593466@；学号：335385 学魁网