学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．【答案】D2．如图236，三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是()图236A．∠BPAB．∠PBAC．∠PBCD．以上都不对【解析】由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.【答案】B3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．【答案】B4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，∴cos∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为.【答案】D5．正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段【答案】A[如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．]二、填空题6．如图237，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________.图237【解析】 EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样， EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又 AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如图238所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．图238【解析】⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.【答案】4三、解答题8．如图239，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.图239【证明】 AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC. BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又 BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.9．如图2310所示，三棱锥ASBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图2310【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60...
