第三讲数论复习例题精讲【例1】（1999年第3题）对于正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3，…，n克的所有物品.（1）求k的最小值f(n);（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？证明你的结论.【例2】（2001年第3题）将边长为正整数m,n的矩形划分为若干个边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值.【例3】(2003年第2题)设三角形的三边长分别是整数且,已知，其中，求这种三角形周长的最小值.【例4】（2008年B卷第2题）求满足下列关系式组的正整数解组的个数．【例5】（CMO2009年第2题）求所有的素数对，使得.【例6】(CMO1991)求所有自然数n,使得【例7】(CMO2000)若对正整数n，存在k，使得其中都是大于3的整数，则称n具有性质P。求具有性质P的所有数n。1【例8】(CMO2002)设多项式序列满足且设为各项系数的绝对值之和.对于任意正整数n，求非负整数，使得为奇数.【例9】(CMO2004)证明：除了有限个正整数外，其他的正整数均可表示为2004个正整数之和，且满足：【例10】．为给定的一个整数，当为何值时，方程有正整数解？有正整数解时，求这个不定方程。大显身手练习1.(第7届CGMO第8题)对于正整数n，令.求证数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数.练习2.在世界杯足球前，国教练为了考察这七员队员，准备让他们在三场训练比赛中都上场（每场90分钟）；假定在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，且每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被7整除，每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被13整除；如果每场换人次数有限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况？2练习3.(第8届CWMO第3题)设整数，都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n,使得都是合数.练习4.求所有的素数对，使得.练习5.(1978年第20届IMO试题A1)数1978n与1978m的最后三位数相等，试求出正整数n和m，使得m＋n取最小值，这里n＞m≥1．练习6.(第5届CGMO第8题)设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数满足条件，使得乘积是3的某个正整数次幂.练习7.(2007年国家集训队第6次测试)考虑一个的数表.我们称将任意一个由7个整数组成的等差数列的每一项分别依次加到某一行（或列）对应的项上为一次操作.问：是否可能经过有限步上述操作得到一个数表使其每一行的7个数都构成等差数列？练习8.设，用表示的所有正约数的个数，表示1,2，…，中与互质的数的个数.求所有的...
