第二讲数论进阶（2）本讲概述本讲主要对二次剩余和佩尔方程进行深入探讨，加强同学们对一些典型方法的掌握以及其在不定方程中的应用。二次剩余定义1：p是素数，(a,p)=1.若同余方程则a叫做模p的二次剩余,否则叫做模p的二次非剩余。性质：若p是奇素数，则p的二次剩余共有个，它们是。模p的两个二次剩余相乘是二次剩余。模p的二次剩余和二次非剩余相乘是二次非剩余，模p的两个二次非剩余相乘是二次剩余。欧拉判别法：则a是模p的二次剩余；则a是模p的二次非剩余。定义2：设素数，定义整变量d的函数则把称为Legendre符号.它具有下述性质：(i);(ii);(iii)，;1(iv)沛尔方程定理1（第1型佩尔方程）（，不是完全平方数）有无穷多组正整数解，其全部解可由它的最小解依如下形式表示=，n为正整数。定理2（第2型佩尔方程）若有正整数解，则它有无穷多组正整数解。例题精讲【例1】证明欧拉判别法.【例2】找出所有的素数p，使得满足，且的整数对恰有p对。【例3】每个素数都可写成两个数的平方和.【例4】求有序整数对的个数，使得有整数解，其中..【例5】设为方程的最小解。证明：其任意一族正整数解(x,y)，必有，.2以下例6例7我们来证明定理1，所用方法也非常经典和有用。【例6】（1）设为无理数，则对任意的大于1的整数q,存在正整数x,y，使得（2）设为无理数，则存在无穷多对正整数(x,y)，使得（3），不是完全平方数，则存在无穷多对正整数(x,y)，使得.（4），不是完全平方数，则存在，，使得不定方程有无穷多组正整数解（x，y）.【例7】（1）至少有一种正整数解。（2）设是的最小解，设，则满足的(x,y)是的全部解。【例8】设k大于1是给定的正整数。证明：有无穷多个整数n，使得kn+1以及(k+1)n+1都是完全平方数。【例9】求所有的正整数m(>1)，使得可以表示为m个连续正整数的平方和。【例10】给定正实数，如果存在，使得，且，我们称正整数n是一个“-平方数”.证明：存在无穷多个正整数n，使得连续6个正整数都是“-平方数”.3大显身手练习1：存在无穷多个正整数n，使得前n个正整数的平方平均是一个整数.练习2：证明：存在无穷多组整数(x,y,z,t)，使得.练习3：证明：对任意，存在无穷多个，使得数是一个完全平方数。练习4：证明：存在无穷多个，使得存在正整数满足：（1）；（2）.练习5：设p是给定的素数，.证明：不定方程有无穷多组正整数解（x，y），且对每一组正整数解都有p|x.练习6：设p为素数，.证明：不定方程有整数解.练习7：证明：不定方程没有整数解.练习...
