2023届陕西省西安市西北工业大学附属中学高考压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A．17种 B．27种 C．37种 D．47种 3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A． B． C． D． 5．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（　　） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 6．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是 A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在复平面内的对应点位于第一象限 7．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（ ）． A． B． C． D． 8．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．等比数列中，，则与的等比中项是（ ） A．±4 B．4 C． D． 11．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________. 14．的角所对的边分别为，且，，若，则的值为__________. 15．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是______，体积是_____. 16．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 18．（12分）设等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求的前项和及使得最小的的值. 19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线、的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积 20．（12分）已知等差数列的前n项和为，且，． 求数列的通项公式； 求数列的前n项和． 21．（12分）设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、 ，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为． （1）若，写出经过变换后得到的数阵； （2）若，，求的值； （3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过． 22．（10分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于. （1）求证:平面平面； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系. 【题目详解】 解：因为，即，又， 设，根据条件，，； 若，，且，则：； 在上是减函数； ； ； 在上是增函数； 所以， 故选：C 【答案点睛】 考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题. 2、C 【答案解析】 由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【题目详解】 所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种, 故选:C 【答案点睛】 本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题. 3、B 【答案解析】 先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求. 【题目详解】 解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有， 其和等于16的结果，共2种等可能的结果， 故概率. 故选：B. 【答案点睛】 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题. 4、C 【答案解析】 利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值. 【题目详解】 因为，且， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果. 5、C 【答案解析】 分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【题目详解】 若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有种组合； 因此共有种组合. 故选C 【答案点睛】 本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 6、D 【答案解析】 利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【题目详解】 由题意， 则，的共轭复数为， 复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D． 【答案点睛】 复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为． 7、A 【答案解析】 直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【题目详解】 由题意可知直线的方程为,不妨设. 则，且 将代入双曲线方程中，得到 设 则 由，可得，故 则，解得 则 所以双曲线离心率 故选：A 【答案点睛】 此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目. 8、B 【答案解析】 设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率. 【题目详解】 设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点， 由题意可知，直线与直线垂直，，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 9、A 【答案解析】 根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可. 【题目详解】 依题意如图所示： 取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心， 取是的外心，作平面平面， 则是四棱锥的外接球球心，且， 设四棱锥的外接球半径为，则，而， 所以， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题. 10、A 【答案解析】 利用等比数列的性质可得 ，即可得出． 【题目详解】 设与的等比中项是． 由等比数列的性质可得， ． ∴与的等比中项 故选A． 【答案点睛】 本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 11、B 【答案解析】 画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案. 【题目详解】 ，画出函数图像，如图所示： 根据图像知：，，故，且. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 12、D 【答案解析】 设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程， 写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果. 【题目详解】 设 ，则 ∵， ∴ ∴ ∴为点的轨迹方程 ∴点的参数方程为（为参数） 则由向量的坐标表达式有： 又∵ ∴ 故选：D 【答案点睛】 考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值． 【题目详解】 解：设点，，其中， ， 由，，， 可设 ， 导数为， 由，可得 ， 可得或， 由 ，， 可得，即，可得， 由可得函数递减；由，可得函数递增， 可得时，函数取得最小值，且为， 则的最小值为1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题． 14、 【答案解析】 先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值. 【题目详解】 因为，故，因为，所以. 由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足， 所以即. 因为， 解得或（舍）. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题. 15、，. 【答案解析】 试题分析：由题