2023学年高考数学一轮复习课时作业43直线平面垂直的判定和性质理.doc

课时作业43　直线、平面垂直的判定和性质 [基础达标] 一、选择题 1．已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析： 构造正方体ABCD－A1B1C1D1，如图， ①，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错； ②，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确； ③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错； ④，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C. 答案：C 2．[2023年·安徽六安一中检测]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　) A．直线OM与AC，MN均垂直 B．直线OM与AC垂直，与MN不垂直 C．直线OM与AC不垂直，与MN垂直 D．直线OM与AC，MN均不垂直 解析：因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，连接B1D1， 所以AC⊥平面BDD1B1. 因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2， 则OM＝＝，MN＝＝，连接ON， ON＝＝， 所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A. 答案：A 3．[2023年·天津七校联考]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，则n∥α D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β 解析：若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交，故A不正确；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故C不正确；若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β，故D正确．故选D. 答案：D 4．[2017·全国卷Ⅲ]在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 解析： 如图，∵ A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴ B，D错； ∵ A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1， ∴ A1E⊥BC1，故C正确； (证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴ BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴ A1E⊥BC1) ∵ A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错． 故选C. 答案：C 5．[2023年·河北衡水调研]如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面结论不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析：因为BC∥DF，DF⊂平面PDF， BC⊄平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故选项A正确． 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， 且AE，PE⊂平面PAE， 所以BC⊥平面PAE. 因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE. 又DF⊂平面PDF， 所以平面PDF⊥平面PAE， 因此选项B，C均正确．故选D. 答案：D 二、填空题 6．[2023年·宁夏银川质检]如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________． 解析：∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．所以图中共有4个直角三角形． 答案：4 7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)． 解析：∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD， ∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC) 8．[2023年·全国卷Ⅰ]已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________． 解析：设PO⊥平面ABC于O，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE、OF、OC， ∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC， 又PO∩PE＝P，∴AC⊥平面POE， ∴AC⊥OE， 同理有BC⊥OF，∴四边形OECF为矩形， ∵PC＝PC且PE＝PF， ∴Rt△PEC≌Rt△PFC， ∴EC＝FC＝＝1， ∴四边形OECF是边长为1的正方形， ∴OC＝， 在Rt△POC中，PO＝＝. 答案： 三、解答题 9．[2023年·辽宁五校模拟]在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°. (1)证明：BD⊥平面ACDE； (2)过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积． 解析：(1)在△BCD中，由余弦定理得BD2＝22＋12－2×1×2cos 60°＝3， 所以BC2＝BD2＋DC2，所以△BCD为直角三角形，BD⊥CD. 因为AC⊥平面BCD，所以AC⊥BD. 而AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACDE. (2)如图，取AC的中点F，BC的中点M，连接DF，DM，MF，则平面DFM即所求． 理由如下：因为DE∥AC，DE＝AF，所以四边形AEDF为平行四边形，所以DF∥AE，从而DF∥平面ABE， 易证FM∥平面ABE. 因为FM∩DF＝F，所以平面DFM∥平面ABE. 由(1)可知，BD⊥平面ACDE，FC⊥平面CDM. V四棱锥B－ACDE＝××＝， V三棱锥F－CDM＝××2＝， 所以所求几何体的体积V＝－＝. 10．[2023年·江西南昌模拟]如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点． (1)求证：平面EFG⊥平面PAD； (2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M－EFG的体积． 解析：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，且CD⊥AD， 所以CD⊥平面PAD. 在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点， 所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD. 因为EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD. (2)因为EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG， 所以CD∥平面EFG， 因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，连接DF，DG，如图， V三棱锥M－EFG＝V三棱锥D－EFG. 取AD的中点H，连接GH，EH，FH， 则EF∥GH， 因为EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD， 所以EF⊥EH. 于是S△EFH＝EF×EH＝2＝S△EFG. 平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD＝EH， 且易知△EHD是边长为2的正三角形，所以点D到平面EFG的距离等于正三角形EHD的高，为. 所以三棱锥M－EFG的体积V三棱锥M－EFG＝V三棱锥D－EFG＝×S△EFG×＝. [能力挑战] 11．[2023年·四川成都七中检测]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝. (1)求证：B1C∥平面A1BM； (2)求证：AC1⊥平面A1BM； (3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 解析：(1)如图，连接AB1，交A1B于点O，连接OM. 在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1的中点， ∴OM∥B1C. 又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM， ∴B1C∥平面A1BM. (2)∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC， ∴AA1⊥BM. 又M为棱AC的中点，AB＝BC，∴BM⊥AC. ∵AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1， ∴BM⊥平面ACC1A1， ∴BM⊥AC1. ∵AC＝2，∴AM＝1. 又AA1＝，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中， tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝， ∴∠AC1C＝∠A1MA， 即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°， ∴A1M⊥AC1. ∵BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM， ∴AC1⊥平面A1BM. (3)当点N为BB1的中点，即＝时， 平面AC1N⊥平面AA1C1C. 证明如下： 设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图． ∵D，M分别为AC1，AC的中点， ∴DM∥CC1，且DM＝CC1. 又N为BB1的中点，∴DM∥BN，且DM＝BN， ∴四边形BNDM为平行四边形， ∴BM∥DN， ∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面AA1C1C. 又DN⊂平面AC1N， ∴平面AC1N⊥平面AA1C1C. 9