2023届江苏省溧中、省扬中、镇江一中、江都中学高三二诊模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（ ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ） A． B． C． D． 4．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 5．在中，为中点，且，若，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥底面半径为，体积为，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ） A． B．1 C． D． 7．函数的对称轴不可能为（ ） A． B． C． D． 8．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则( ) A．9 B．5 C．2或9 D．1或5 10．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 11．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，若，则______. 14．在数列中，，则数列的通项公式_____. 15．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______. 16．等边的边长为2，则在方向上的投影为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数（，为自然对数的底数），. （1）若有两个零点，求实数的取值范围； （2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18．（12分）已知，，设函数，. （1）若，求不等式的解集； （2）若函数的最小值为1，证明：. 19．（12分）设函数， （1）当，，求不等式的解集； （2）已知，，的最小值为1，求证：. 20．（12分）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）曲线在点处的切线斜率为. （i）求； （ii）若，求整数的最大值. 21．（12分）设函数（其中），且函数在处的切线与直线平行. （1）求的值； （2）若函数，求证：恒成立. 22．（10分）在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，为外一点，，求四边形面积的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得出圆关于直线的对称圆的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出，即可得解. 【题目详解】 如下图所示： 设点关于直线的对称点为点， 则，整理得，解得，即点， 所以，圆关于直线的对称圆的方程为， 设点，则， 当时，取最小值，因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题. 2、B 【答案解析】 根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程． 【题目详解】 ∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 3、D 【答案解析】 利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可. 【题目详解】 在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为， 矩形中位于曲线上方区域的面积为， 矩形的面积为， 由几何概型的概率公式得，所以，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 4、D 【答案解析】 根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积. 【题目详解】 如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的， 该几何体的体积为， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题. 5、B 【答案解析】 选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果. 【题目详解】 ， ， ， ，，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 6、D 【答案解析】 建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离. 【题目详解】 将抛物线放入坐标系，如图所示， ∵，，， ∴，设抛物线，代入点， 可得 ∴焦点为， 即焦点为中点，设焦点为， ，，∴. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识. 7、D 【答案解析】 由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【题目详解】 对于函数，令，解得， 当时，函数的对称轴为，，. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 8、C 【答案解析】 先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围. 【题目详解】 由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故， 又有，综上得的取值范围是. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题. 9、B 【答案解析】 根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得. 【题目详解】 由于，所以， 又且， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题. 10、B 【答案解析】 求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论. 【题目详解】 由，得，则集合， 所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题. 11、A 【答案解析】 将 整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【题目详解】 解：，所以所对应的点为在第一象限. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把 当成进行计算. 12、B 【答案解析】 把已知点坐标代入求出，然后验证各选项． 【题目详解】 由题意，，或，， 不妨取或， 若，则函数为，四个选项都不合题意， 若，则函数为，只有时，，即是对称轴． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值. 【题目详解】 向量, 则, 则 因为 即,化简可得 解得 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题. 14、 【答案解析】 由题意可得，又，数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对分奇数和偶数两种情况，分别求出，从而得到数列的通项公式. 【题目详解】 解：∵， ∴①，②， ①﹣②得：，又∵， ∴数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当为奇数时，， 当为偶数时，则为奇数，∴， ∴数列的通项公式， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式． 15、 【答案解析】 确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案. 【题目详解】 如图，在正方体中，记的中点为，连接， 则平面即为平面．证明如下： 由正方体的性质可知，，则，四点共面， 记的中点为，连接，易证．连接，则， 所以平面，则． 同理可证，，，则平面， 所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面． 因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形， 其对角线，，所以其面积． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 16、 【答案解析】 建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可. 【题目详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，， 则：，， 且，， 据此可知在方向上的投影为. 【答案点睛】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2） 【答案解析】 （1）将有两个零点转化为方程有两个相异实根，令求导，利用其单调性和极值求解； （2）将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果. 【题目详解】 （1）有两个零点关于的方程有两个相异实根 由，知 有两个零点有两个相异实根. 令，则， 由得：，由得：， 在单调递增，在单调递减 ， 又 当时，，当时， 当时， 有两个零点时，实数的取值范围为； （2）当时，， 原命题等价于对一切恒成立 对一切恒成立. 令 令，，则 在上单增 又， ，使即① 当时，，当时，， 即在递减，在递增， 由①知 函数在单调递增 即 ， 实数的取值范围为. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.