2023学年高考数学大二轮复习能力升级练十五导数及其综合应用1理2.docx

能力升级练(十五)　导数及其综合应用(1) 一、选择题 1.(2023湖南株洲质检)设函数y=xsin x+cos x的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)的图象一部分可以是(　　) 解析因为y'=xcosx,所以g(t)=tcost, 由g(-t)=-tcost=-g(t)知函数g(t)为奇函数, 所以排除B,D选项, 当从y轴右侧t→0时,cost>0,t>0, 所以g(t)>0,故选A. 答案A 2.(2023云南昆明统考)已知函数f(x)=exx2+2kln x-kx,若x=2是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是(　　) A.-∞,e24 B.-∞,e2 C.(0,2] D.[2,+∞) 解析由题意得f'(x)=ex(x-2)x3+2kx-k=(x-2)(ex-kx2)x3,f'(2)=0,令g(x)=ex-kx2,则g(x)在区间(0,+∞)内恒大于等于0或恒小于等于0,令g(x)=0,得k=exx2,令h(x)=exx2,则h'(x)=ex(x-2)x3,所以h(x)最小值为h(2)=e24,无最大值,所以k≤e24,故选A. 答案A 3.(2023河北衡水金卷调研)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(0)=12,则不等式f(x)-12ex<0的解集为(　　) A.-∞,12 B.(0,+∞) C.12,+∞ D.(-∞,0) 解析构造函数g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex, 因为f'(x)<f(x),所以g'(x)<0, 故函数g(x)在R上为减函数, 又f(0)=12,所以g(0)=f(0)e0=12, 则不等式f(x)-12ex<0可化为f(x)ex<12,即g(x)<12=g(0), 所以x>0,即所求不等式的解集为(0,+∞). 答案B 4.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则(　　) A.a>-3 B.a<-3 C.a>-13 D.a<-13 解析由题意得,y'=aeax+3=0在(0,+∞)上有解,即aeax=-3,∵eax>0,∴a<0. 又当a<0时,0<eax<1,要使aeax=-3,则a<-3. 答案B 5.(2023西南名校联盟月考)设过曲线f(x)=ex+x+2a(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在过曲线g(x)=a2(1-2x)-2sin x上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为(　　) A.[-1,1] B.[-2,2] C.[-1,2] D.[-2,1] 解析设y=f(x)的切点为(x1,y1),y=g(x)的切点为(x2,y2),f'(x)=ex+1,g'(x)=-a-2cosx,由题意得,对任意x1∈R总存在x2使得(ex1+1)(-a-2cosx2)=-1, ∴2cosx2=1ex1+1-a对任意x1∈R均有解x2, 故-2≤1ex1+1-a≤2对任意x1∈R恒成立, 则a-2≤1ex1+1≤a+2对任意x1∈R恒成立. 又1ex1+1∈(0,1),∴a-2≤0且2+a≥1,∴-1≤a≤2. 答案C 6.(2023山东联盟考试)对于函数f(x)=ex-ln(x+2)-2,以下描述正确的是(　　) A.∃x0∈(-2,+∞),f(x0)∈(-∞,-2) B.∀x∈(-2,+∞),f(x)∈(-∞,-2) C.∀x∈(-2,+∞),f(x)∈(-2,+∞) D.f(x)min∈(-1,1) 解析设函数g(x)=ex-x-1,g'(x)=ex-1, 当x>0时,g'(x)>0,当x<0时,g'(x)<0, 所以g(x)min=g(0)=0,即ex≥x+1, 设函数h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2), h'(x)=1-1x+2=x+1x+2, 令h'(x)>0,得x>-1,令h'(x)<0,得-2<x<-1, 所以h(x)min=h(-1)=0,即x+1≥ln(x+2), 又等号取不同x值, 所以ex>ln(x+2),ex-ln(x+2)>0, 函数f(x)=ex-ln(x+2)-2的值域为(-2,+∞),故选C. 答案C 7.(2023辽宁沈阳一模)已知函数f(x)=aln x-2x,若不等式f(x+1)>f(ex)在x∈(1,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.a≤2 B.a≥2 C.a≤0 D.0≤a≤2 解析当x>0时g'(x)=ex-1>e0-1=0, 所以g(x)=ex-x-1在(0,+∞)上递增,得g(x)>g(0)=e0-0-1=0, 所以当x>0时,1<x+1<ex恒成立. 若不等式f(x+1)>f(ex)在x∈(1,+∞)上恒成立,则函数f(x)在(1,+∞)上递减, 即当x>1时,f'(x)≤0恒成立,所以f'(x)=ax-2≤0, 即a≤2x(x>1)恒成立,因为2x>2,所以a≤2,故选A. 答案A 二、填空题 8.(2023河南焦作模拟)已知f(x)=xln x+f'(1)x,则f'(1)=　　　　　.  解析因为f'(x)=1+lnx-f'(1)x2,令x=1, 得f'(1)=1-f'(1),解得f'(1)=12. 答案12 9.(2023全国Ⅲ,理14)直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　　.  解析设f(x)=(ax+1)ex, ∵f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex, ∴f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3. 答案-3 10.(2017浙江,7改编)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是　　　.  解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3. 所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是减函数, 在区间(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为④,故填④. 答案④ 11.(2023河北衡水中学模考)函数f(x)=alnxx的图象在点(e2,f(e2))处的切线与直线y=-1e4x平行,则f(x)的极值点是　　　　　.  解析f'(x)=a(1-lnx)x2,故f'(e2)=-ae4=-1e4,解得a=1,故f(x)=lnxx,f'(x)=1-lnxx2,令f'(x)=0,解得x=e,因为x<e时f'(x)>0,x>e时f'(x)<0,所以x=e是函数的极值点. 答案e 12.(2017全国Ⅱ,理11改编)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为　　　　　.  解析由题意可得, f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1. 因为x=-2是函数f(x)的极值点, 所以f'(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x2-x-1)ex-1. 所以f'(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故填-1. 答案-1 13.定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2,当x<0时,f'(x)<x,则不等式f(x)+12≥f(1-x)+x的解集为　　　　　.  解析∵f(x)+f(-x)=x2,∴f'(x)-f'(-x)=2x, ∴f'(-x)=f'(x)-2x. ∵当x<0时,f'(x)<x,∴f'(-x)=f'(x)-2x<x-2x=-x,∴当x>0时,f'(x)<x, 令g(x)=f(x)+12-f(1-x)-x, g'(x)=f'(x)+f'(1-x)-1<x+1-x-1=0, ∴g(x)在R上递减.∵g12=f12+12-f12-12=0,又g(x)≥0,∴g(x)≥g12, ∴x≤12. 答案-∞,12 三、解答题 14.(2023山西吕梁模拟)已知函数f(x)=exx-a(x-ln x). (1)当a≤0时,试求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围. 解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞). f'(x)=ex(x-1)x2-a1-1x =ex(x-1)-ax(x-1)x2=(ex-ax)(x-1)x2. 当a≤0时,对于∀x∈(0,+∞),ex-ax>0恒成立, 所以由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1. 所以f(x)的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1). (2)若f(x)在(0,1)内有极值, 则f'(x)=0在(0,1)内有解. 令f'(x)=(ex-ax)(x-1)x2=0, 即ex-ax=0,即a=exx. 设g(x)=exx,x∈(0,1), 所以g'(x)=ex(x-1)x2, 当x∈(0,1)时,g'(x)<0恒成立, 所以g(x)单调递减. 又因为g(1)=e,又当x→0时,g(x)→+∞, 即g(x)在(0,1)上的值域为(e,+∞), 所以当a>e时,f'(x)=(ex-ax)(x-1)x2=0有解. 设H(x)=ex-ax,则H'(x)=ex-a<0,x∈(0,1), 所以H(x)在(0,1)上单调递减. 因为H(0)=1>0,H(1)=e-a<0, 所以H(x)=ex-ax=0在(0,1)上有唯一解x0. 当x变化时,H(x),f'(x),f(x)变化情况如表所示: x (0,x0) x0 (x0,1) H(x) + 0 - f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以当a>e时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一. 当a≤e时,当x∈(0,1)时,f'(x)≤0恒成立,f(x)单调递减,不成立. 综上,a的取值范围为(e,+∞). 15.(2023黑龙江齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=kln x-x-1x,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若对任意x∈(0,1)∪(1,e)(其中e为自然对数的底数),都有f(x)x-1+1x>1a(a>0)恒成立,求a的取值范围. 解(1)f(x)的定义域为(0,+∞), ∵f(x)=klnx-x-1x,定义域为(0,+∞), ∴f'(x)=kx-1x2=kx-1x2(x>0). 由题意知f'(1)=k-1=0,解得k=1, ∴f'(x)=x-1x2(x>0), 由f'(x)>0,解得x>1,由f'(x)<0,解得0<x<1, ∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞). (2)由(1)知f(x)=lnx-1+1x, ∴f(x)x-1+1x=lnxx-1-1x-1+1x(x-1)+1x=lnxx-1. 设m(x)=lnxx-1,则m'(x)=x-1-xlnxx(x-1)2, 令n(x)=x-1-xlnx,则n'(x)=1-lnx-1=-lnx, ∴当x>1时,n'(x)<0,n(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴当x∈(1,e)时,n(x)<n(1)=0, ∴当x∈(1,e)时,m'(x)<0,m(x)单调递