中国科学:数学2023年第53卷第2期:301∼324SCIENTIASINICAMathematica论文英文引用格式:WangJ,MaXR.(1−xy,y−x)-expansionformulaanditsapplications(inChinese).SciSinMath,2023,53:301–324,doi:10.1360/SSM-2021-0167c©2022《中国科学》杂志社www.scichina.commathcn.scichina.com(1−xy,y−x)-展开公式与应用献给朱烈教授80华诞王瑾1,马欣荣2∗1.浙江师范大学数学与计算机科学学院,金华321004;2.苏州大学数学科学学院,苏州215006E-mail:jinwang@zjnu.edu.cn,xrma@suda.edu.cn收稿日期:2021-08-27;接受日期:2021-12-28;网络出版日期:2022-04-25;*通信作者国家自然科学基金(批准号:12001492和11971341)和浙江省自然科学基金(批准号:LQ20A010004)资助项目摘要本文首先利用(f,g)-反演公式建立了关于任意解析函数F(x)在给定基{n−1∏k=0x−bk1−xkx■■■■n⩾0}下所谓的(1−xy,y−x)-展开公式.随后,通过考虑具体的F(x)以及参数xn和bn,不但证明了很多经典结论,如Rogers-Fine恒等式、Andrews四参数互反定理、Ramanujan1ψ1求和公式,而且建立了大量的q-级数变换与求和公式,并且得到Andrews的WPBailey引理的一种推广.关键词(f,g)-反演公式(1−xy,y−x)-展开公式求和与变换WPBailey对Rogers-Fine恒等式互反定理q-级数Lagrange反演公式MSC(2020)主题分类33D15,05A301引言众所周知,古典Lagrange反演公式是法国数学家Lagrange[25]在18世纪中叶为解决开普勒行星运行轨迹问题而提出的,是函数论发展史上具有里程碑意义的数学结论(参见文献[14]、[6,附录E]和[45,第7.32节]).它的核心是给出函数表达式F(x)=∞∑n=0an(xϕ(x))n(1.1)中系数an的值,即a0=F(0),且对于任意n⩾1,an=1n!Dn−1x[ϕn−1(x)Dx{F(x)}]x=0王瑾等:(1−xy,y−x)-展开公式与应用只要F(x)和ϕ(x)在x=0处是解析的,ϕ(0)≠=0,Dx表示通常意义下的求导算子.很显然,当ϕ(x)=1时,(1.1)退化为分析学理论中最常见的Taylor展开公式.根据复分析学家Henrici[16]的发现:Lagrange反演公式等价于组合分析学意义下的矩阵反演.这个发现说明矩阵反演也是函数展开不可或缺的研究方法.根据文献[24,34,38]给出的定义,组合分析学中的矩阵反演,通常是指一对无穷阶下三角矩阵A=(An,k)n,k∈N和B=(Bn,k)n,k∈N,其中N表示非负整数集,满足:当n
