2023学年湖南省衡阳市耒阳市正源学校高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A．8年 B．9年 C．10年 D．11年 2．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( ) A．7 B．15 C．31 D．63 3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A． B． C． D． 4．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ） A． B． C． D． 5．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．某人2018年的家庭总收人为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储畜费用为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ） A． B． C． D． 8．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 9．如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A． B． C． D． 11．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 12．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在中，已知，，则A的值是______. 14．已知函数，若，则___________. 15．已知，则__________. 16．某种圆柱形的如罐的容积为个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，对角线交于点为棱的中点，．求证： （1）平面； （2）平面平面． 18．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量． 19．（12分）已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。 （Ⅰ）求证：AE平面BCD； （Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）． 20．（12分）在边长为的正方形，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥. （1）判别与平面的位置关系，并给出证明； （2）求多面体的体积. 21．（12分）已知三棱柱中，，是的中点，，. （1）求证：； （2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点. （1）证明:平面 （2）若，求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案. 【题目详解】 依题意在回归直线上， ， 由， 估计第年维修费用超过15万元. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题. 2、B 【答案解析】 试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，； ⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B. 考点：程序框图. 3、B 【答案解析】 求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4、C 【答案解析】 几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【题目详解】 几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 5、D 【答案解析】 可以是共4个，选D. 6、A 【答案解析】 根据 2018年的家庭总收人为元，且就医费用占 得到就医费用，再根据年的就医费用比年的就医费用增加了元，得到年的就医费用，然后由年的就医费用占总收人，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人求解. 【题目详解】 因为2018年的家庭总收人为元，且就医费用占 所以就医费用 因为年的就医费用比年的就医费用增加了元， 所以年的就医费用元， 而年的就医费用占总收人 所以2019年的家庭总收人为 而储畜费用占总收人 所以储畜费用： 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题. 7、C 【答案解析】 分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可. 详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图： ，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C 点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题． 8、B 【答案解析】 由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解 【题目详解】 双曲线的一条渐近线与直线垂直． ∴双曲线的渐近线方程为． ，得． 则离心率． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 9、A 【答案解析】 联立直线方程与椭圆方程，解得和的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得，由离心率定义可得结果. 【题目详解】 由，得，所以，. 由题意知，所以，. 因为,所以,所以. 所以，所以， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题. 10、C 【答案解析】 利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直角三角形的斜边长为， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为， 所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 11、D 【答案解析】 由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可. 【题目详解】 解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由， 得，当时，. 故选D. 【答案点睛】 本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 12、A 【答案解析】 结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【题目详解】 由，则，所以；而 当，则，解得或.所以 “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【答案点睛】 本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据正弦定理，由可得，由可得，将代入求解即得. 【题目详解】 ，，即， ，，则， ，，，则. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基础题. 14、 【答案解析】 根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可. 【题目详解】 因为函数，其定义域为， 所以其定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，因为， 所以. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 15、 【答案解析】 首先利用，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到，从而求得，利用诱导公式求得，得到结果. 【题目详解】 因为，所以，即， 所以， 故答案是. 【答案点睛】 该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目. 16、 【答案解析】 设圆柱的高为，底面半径为，根据容积为个立方单位可得，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值． 【题目详解】 设圆柱的高为，底面半径为. ∵该圆柱形的如罐的容积为个立方单位 ∴，即. ∴该圆柱形的表面积为. 令，则. 令，得； 令，得. ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴当时，取得最小值，即材料最省，此时. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）详见解析；（2）详见解析. 【答案解析】 (1) 连结根据中位线的性质证明即可. (2) 证