东北大学《大学物理》课件-第三讲.pdf

大学物理第三讲13.1 刚体的定轴转动及其描述研究对象：做定轴转动的刚体；研究问题：刚体运动学；研究内容：1.刚体定轴转动的特点；2.刚体定轴转动状态的描述：角位移、角速度、角加速度。3.角量与线量之间的关系。1.刚 体继质点之后又一理想化模型。继质点之后又一理想化模型。在力的作用下，大小和形状都保持不变的物在力的作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。体称为刚体。2.刚体的运动刚体最简单的运动形式是平动和转动。刚体最简单的运动形式是平动和转动。(1)平动：平动：刚体内各质点的轨迹完全相同。刚体内各质点的轨迹完全相同。一、刚体(1)ABCDABCDABCD(2)(3)刚体的平动刚体的平动3.1 刚体的定轴转动及其描述3(2)平动的特点平动的特点 在任意时间段内在任意时间段内,所有质点的运动所有质点的运动轨迹轨迹、位移位移都相同都相同。各个质点的各个质点的速度速度和和加速度加速度也都是相同的。也都是相同的。刚体上任意一点的运动可代表整个刚体的运刚体上任意一点的运动可代表整个刚体的运动。动。刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同。3.1 刚体的定轴转动及其描述43.定轴转动(1)转 动如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作作圆周运动圆周运动，这种运动称为，这种运动称为转动转动。(2)转 轴转动中刚体所绕的直线称为转轴。转动中刚体所绕的直线称为转轴。(3)定轴转动如果刚体转动过程中，转轴在空间的如果刚体转动过程中，转轴在空间的位置保位置保持不变持不变，这种转动称为，这种转动称为定轴转动定轴转动。3.1 刚体的定轴转动及其描述54.定轴转动的特点(1)任一质点都在某个垂直任一质点都在某个垂直转轴的平面内作转轴的平面内作圆周运动圆周运动。(2)各质点轨迹半径大小不各质点轨迹半径大小不一一。在同一时间内在同一时间内，各质各质点转过的点转过的圆弧长度不相同圆弧长度不相同。1r AA 1O2r BB 2O刚体的定轴转动刚体的定轴转动z(3)各质点半径所扫过的角度相同各质点半径所扫过的角度相同。各质点的各质点的角角位移位移、角速度角速度和和角加速度角加速度都相同。都相同。3.1 刚体的定轴转动及其描述6二、刚体定轴转动状态的描述1.角位移1r AA 1O2r BB 2O刚体的定轴转动刚体的定轴转动z 与描述质点的圆周运动类似，与描述质点的圆周运动类似，也采用角量描述刚体的定轴也采用角量描述刚体的定轴转动状态。如图所示。转动状态。如图所示。2.角速度 dtdtlimt 03.1 刚体的定轴转动及其描述7二、刚体定轴转动状态的描述1r AA 1O2r BB 2O刚体的定轴转动刚体的定轴转动z 3.角加速度 2 rrrvt naa22dtddtd 4.角量和线量的关系3.1 刚体的定轴转动及其描述8三、角速度矢量在转轴上画一在转轴上画一有向线段有向线段，使其长度按一定比使其长度按一定比例代表例代表角速度角速度大小大小，方向分为两种情况判断：方向分为两种情况判断：（1）定轴转动：）定轴转动：角速度方向以正、负表示。角速度方向以正、负表示。俯视：俯视：刚体逆时针转动，角速度为正；刚体逆时针转动，角速度为正；刚体顺时针转动，角速度为负；刚体顺时针转动，角速度为负；（2）非定轴转动：非定轴转动：“右手法则右手法则”：四指弯曲方：四指弯曲方向与转动方向一致向与转动方向一致，拇指指向为角速度方向拇指指向为角速度方向。定轴转动中，角速度方向总是沿着转轴，因此，定轴转动中，角速度方向总是沿着转轴，因此，只要规定了角速度的正负，就可用标量进行计算。只要规定了角速度的正负，就可用标量进行计算。3.1 刚体的定轴转动及其描述9例：例：高速旋转的转子高速旋转的转子，初始角速度初始角速度 0=0，经过经过300 s后后，角速度增加到角速度增加到=1800 r/min，设角加速设角加速度度 与时间与时间t成正比成正比，求转子求转子300s内转过的转数内转过的转数。分析：分析：求转子在求转子在300 s内转过的转数内转过的转数，关键是要关键是要求出在求出在300s内转子转过的角度内转子转过的角度。解：解：由题知由题知角加速度角加速度 与时间与时间t成正比成正比，设比例系设比例系数为数为k，则有则有kt dtd ktdtd 3.1 刚体的定轴转动及其描述10 tktdtd00 221kt 当当t=300 s时，时，=1800 r/min=60 rad/s，代入得，代入得750 k21500t 21500tdtd 3000201500dttd ，6000 当当t=300 s时，时，rN3000260002 3.1 刚体的定轴转动及其描述13.2 力矩、转动定律及转动惯量问题的提出：质点运动学和动力学学习中我们知道，只要有力作用在质点上，质点的运动状态就会发生变化，力和运动状态乊间的关系可用牛顿定律描述；运动状态改变的难易与质点的质量有关。那么，对于刚体而言，是不是有力作用于其上，刚体就能转动呢？刚体转动状态的改变又需要什么物理量作用呢？刚体转动状态改变的难易程度受什么影响呢？2先看生活中的一个实例：用相同的力打开一扇很重的铁门，推哪个位置最容易呢？很显然，在离门轴最远的位置垂直于门的平面推最容易，如果平行于门轴用力，不管用多大的力都不能将门推动。这说明，刚体转动状态的改变，不但和作用于刚体的力的大小有关，还取决于力的作用点和作用方向，为了将这三个要素都体现出来，需要引入新的物理量力矩。3.2 力矩、转动定律及转动惯量3实例2：质量和长度都相同的两个细棒，支点在中心比在端点附近更容易转起来。这说明质量这个物理量已经不足以描述刚体转动状态改变的难易了，还需要考虑转轴位置等其他因素，因此需要引入另一个新的物理量转动惯量。3.2 力矩、转动定律及转动惯量4研究问题：刚体动力学，刚体转动状态为什么会变化；研究内容：1.刚体转动状态改变的原因力矩；2.力矩与角加速度乊间的关系转动定律。3.转动中惯性大小的量度转动惯量。3.2 力矩、转动定律及转动惯量一、力 矩1.作用在刚体上的力对轴的力矩rFF FzOd P(1)力 对O点的力矩F FrM0(2)力 对转轴的力矩F FFF只有只有能使刚体转动。能使刚体转动。FdFrFM sin rOdP F力矩的单位：力矩的单位：N m。3.2 力矩、转动定律及转动惯量62.力矩的大小及方向FrM 方向：方向：右手螺旋法则：四指由右手螺旋法则：四指由经小于经小于180 的的角转向角转向，拇指指向即为力矩拇指指向即为力矩的方向的方向。rFMM为正值，表明总力矩的方为正值，表明总力矩的方向沿转轴向沿转轴Oz方向。方向。M为负值，表明总力矩的方为负值，表明总力矩的方向和转轴向和转轴Oz的方向相反。的方向相反。rFzOd P力矩的大小：M=rFsin 3.2 力矩、转动定律及转动惯量73.总力矩若几个外力同时作用在刚体上若几个外力同时作用在刚体上，每个力对转轴都将产生一个力矩每个力对转轴都将产生一个力矩。实验表明实验表明，他们的总力矩的量值等他们的总力矩的量值等于这几个力分别产生力矩的于这几个力分别产生力矩的代数和代数和。1r3F1F2FzO1dP2r3r2d3d332211dFdFdFM 4.内力矩乊和刚体内质点间相互作用的内力成对出现，且刚体内质点间相互作用的内力成对出现，且遵守牛顿第三定律遵守牛顿第三定律,对转轴的对转轴的内力矩乊和必为零。刚体由多个质点组成，因此，除了受到外力作刚体由多个质点组成，因此，除了受到外力作用外，质点之间还有相互作用的内力。刚体内用外，质点之间还有相互作用的内力。刚体内质点间的内力矩之和为多少呢？质点间的内力矩之和为多少呢？解释三个力矩方向解释三个力矩方向3.2 力矩、转动定律及转动惯量81.受力分析和运动方程刚体可看作由刚体可看作由n个绕定轴个绕定轴Oz轴转动质点组成。轴转动质点组成。二、转动定律iriFzOim iF iiiiamFF itiititamFF iirm iF和和iF分别表示作用于质量为分别表示作用于质量为 mi的的第第i个质点的个质点的外力和内力。根据牛顿第二定律，其运动方程为：外力和内力。根据牛顿第二定律，其运动方程为：由于法向力的力矩为零，现在只由于法向力的力矩为零，现在只考虑该方程的切向分量，则有考虑该方程的切向分量，则有3.2 力矩、转动定律及转动惯量92.合力矩对刚体内所有质点求和：对刚体内所有质点求和：iiititrmFF 方程方程两边同乘时以两边同乘时以 ri 2irmrFrFiiitiit rmrFrFniiiniiitniiit)()(1211 iitrF0 iitrF所有质点内力矩之和，必为零所有质点内力矩之和，必为零3.2 力矩、转动定律及转动惯量104.转动定律 JM 3.转动惯量J ni2iirmJ1 刚体在刚体在合外力矩合外力矩的作用下的作用下,获得的角加速度获得的角加速度 与与合外力矩合外力矩M的大小成正比的大小成正比，并与刚体的转动惯并与刚体的转动惯量量J成反比成反比，这个关系称为这个关系称为定轴转动的转动定律。ni2iiniiitmrFM11 r)(因此，作用在刚体上的合外力矩即为合力矩：因此，作用在刚体上的合外力矩即为合力矩：3.2 力矩、转动定律及转动惯量115.关于转动定律的几点说明（1）力矩力矩是改变刚体转动状态的原因；是改变刚体转动状态的原因；（2）刚体的转动定律类似于质点的牛顿第二刚体的转动定律类似于质点的牛顿第二定律定律，可类比记忆；可类比记忆；（3）刚体的内力矩之和为零刚体的内力矩之和为零，因此因此，内力矩内力矩不改变刚体的转动状态不改变刚体的转动状态。3.2 力矩、转动定律及转动惯量12三、转动惯量 niiirmJ12 1.刚体对某个定轴的转动惯量刚体的转动惯量的定义为：即：刚体对转轴的转动惯量，等于组成刚体的各质点的质量与各自到转轴的距离平方的乘积乊和。3.2 力矩、转动定律及转动惯量13采用采用微积分的思想微积分的思想计算质量连续计算质量连续分布的刚体转动惯量分布的刚体转动惯量。mmdrJ22.质量连续分布的刚体的转动惯量rzOmd在刚体内距离转轴为在刚体内距离转轴为r处处，选任意选任意质量元质量元dm，该质元相对于该质元相对于OZ轴转动惯量：轴转动惯量：dmrdJ2 dldSdVdm 线密度线密度面密度面密度体密度体密度 则刚体总转动惯量为：则刚体总转动惯量为：其 中其 中，3.2 力矩、转动定律及转动惯量143.转动惯量的物理意义221vm221 J刚体的转动惯量刚体的转动惯量相当于相当于质点平动的质量质点平动的质量。质量。质量是平动中惯性大小的量度，因此，是平动中惯性大小的量度，因此，转动惯量是转动中惯性大小量度。质点平动：质点平动：平动动能平动动能vm线动量线动量刚体转动：刚体转动：转动动能转动动能 J角动量角动量质点：牛顿第二定律质点：牛顿第二定律刚体：刚体转动定律刚体：刚体转动定律amF JM 3.2 力矩、转动定律及转动惯量3.3 转动惯量计算 转动定律应用一、转动惯量的计算丼例例例1.如图如图，质量为质量为m、长为长为l的均匀细棒的均匀细棒，o z 轴轴与过棒的与过棒的中心中心O的的oz轴平行轴平行，距离为距离为h，求棒绕求棒绕o z 轴轴旋转时旋转时的转动惯量的转动惯量。分析：分析：均匀细棒，中心也是棒均匀细棒，中心也是棒的质心；质量连续分布，转动的质心；质量连续分布，转动惯量用微积分方法求解。由于惯量用微积分方法求解。由于质量呈线分布，因此，在细棒质量呈线分布，因此，在细棒上选取一线元作为质量元即可。上选取一线元作为质量元即可。lhO zO z2称为质量线密度。称为质量线密度。，其中，其中lmxdmd 该质量元对转动惯量的贡献为：该质量元对转动惯量的贡献为：xxmxJddd22 解：解：如图所示，以棒与如图所示，以棒与轴的交点轴的交点O 为为坐标原点坐标原点，沿棒向右为沿棒向右为 x 轴正方向，轴正方向，在在 x 处取线元处取线元dx，则其，则其质量为：质量为：lhxdxO zO