湖南大学《高等数学》课件-第1章.pdfVIP免费

 

 

 

 

第一章  集合与函数

第二章  函数的极限

第三章  函数的连续性

第四章  函数的导数和微分

第五章  导数和微分的应用

第六章  函数的积分

第七章  定积分的应用

第八章  常微分方程

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第  1

章      集合与函数

 

第 1 章   集合与函数

 

一、集 合

1.  符 号

全称量词    ： “对于任意的” , “ 对于所有的” ,“ 对于 每一个” .

存在量词   彐  ： “存在” .                          ( An xist )

蕴  涵  词  → ： “推得” , “ 充分条件” .            S1  → S2

双蕴涵词   ： “当且仅当” , “ 等价”,“ 充分必要条件” .

S1      S2

 

2.  点 x0   邻域  设 x0 ∈R,   对δ >0.

(1)  U(x0, δ ) ={x∈ R| | x-x0 | < δ } = (x0 - δ , x0+ δ ) ，

称为 x0  的δ 邻域

 

.

(2   (x0, δ ) = U(x0, δ )   － {x0 } ={x∈ R| 0< | x-x0 | <

称为 x0  的去心δ 邻 域 .

 

 

 

 

 x

x0–δ       x0                x0+ δ

U(x0+, δ ) ={x∈ R| x0≤x ＜ x0+ δ } = [ x0, x0+ δ )

={x∈ R| x0 ＜ x ＜ x0+ δ } = ( x0, x0+ δ )

 

 

 

 x

x0–δ       x0                x0+ δ

U(x0  － , δ ) ={x∈ R| x0   - δ < x≤ x0 } =( x0   - δ , x0 ]

(x0- , δ ) ={x∈ R| x0   - δ <  x ＜ x0 } =( x0   - δ , x0

 

3.   集合的关系和运算

(1)  包含： 丫 x∈A → x∈B .   A 二 B ；称  A  是  B   的子集

(2)  相等： A 二 B  且 B 二 A.  A = B ； .

(3)  余：  A 二 X ，   AC ={x | x∈X 且 xA ｝；

(4)  并：  A∪B ={x | x∈A  或 x∈B ｝ ；

(5)  交：  A∩B ={x | x∈A  且 x∈B ｝ ；

(6)  差：  A-B  ={x | x∈A  且 x B ｝ ；

(7)  直积：  A×B  ={(x,y) | x∈A  且 y∈B ｝ ；

 

运算律

交换律：  A∪B=B∪A;    A∩B=B∩A;

结合律： (A∪B)∪C = A∪(B∪C);  (A∩B)∩C = A∩(B∩C);

分配律： A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C);

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C); 幂等律： A∪A=A;   A∩A=A;

吸收律： A∪ =A;   A∩ = ;

对偶律 (De Morgan) ：(A∪B)C = AC ∩BC;    (A∩B)C= AC ∪BC.

 

二、映 射

 

 

 

 

定义 2 设 f : A→B.  若  x1, x2 ∈ A ,  当 x1 ≠ x2  时 , f ( x1) ≠ f ( x

2) ,

例 1    称Af= R是, R.,

f ： x |→ x3  ， 则 f  是一个单射 .

。                                                                。

例 2   设  A =N ， B =Q ，

f ： x |→ x+1 ，则 f  是一个单射

 

.

 

 

 

 

 

 

。

 

 

。

 

 

。

 

。

 

 

。

 

 

。

 

 

。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 。

 

 

。

 

 

。

 

 

。

 

 

。

 

 

A                 · B                射 ).

 

定义 4  若映射 f : A→B 一个

。                                                         。

例 5    设  A = R ， B = R ，

f :  x |→x3

则 f  是一个一一对应

例 6  . 设

,

 

f  ： x |→ sin x ，

A

.

 

§2    函数及其基本性质

一、函数的概念

定义 1. 若 f  是非空实数集 AR  到  R  的映射：

f   ： A→R ，

则称 f  为定义在 A  上的一元 ( 实数值 ) 函

 

A  称为 f  的定义域，记为 D(f );

x ∈A ，其像 y =f (x) 称为 x  的函数值 ;

f(A)={y | y =f(x),x∈A }  称为 f  的值域 , 也记为 R(f ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第 1 章   集合与函数

例 1   上证指数和深证成分指数

 

 

例 2   示波器中的“锯齿波” 波形 .

u

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

t       

 

 

 

 

 

例 3    绝对值函数

y =| x |,  - ∞ < x < +∞.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1          x

 

第 1 章   集合与函数

 

例 4.  符号函数

 

 

 

 

 

第 1 章   集合与函数

例 5.  取整函数                                         y

f ： x |→ 不超过 x 的最大整                       3                 y=[x]

数                                                               2

 

其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数  -4    -3    -2   -1      O 1     2    3    4    x -1

 

当 x = – 4.4 时 , [x]= –5.

 

例 6.  狄利克莱  

 

 

 

当x为有理数, 当x为无理数.

 

二、函数的基本特性

1.  单调性 设 f (x) 的定义域为 D(f ),  区间 I  D(f ).

(1)  若  x1, x2 ∈I  且 x1< x2,  都有

f (x1) ≤ f (x2)    (f (x1)  ＜ f (x2) ),

则称 f(x) 在 I 上单调增加  ( 严格单调增加) ；

(2)  若  x1, x2 ∈I  且 x1< x2,  都有

f (x1) ≥ f (x2)      (f (x1)  ＞ f (x2) ),

则称 f(x) 在 I 上单调减少  ( 严格单调减少 ).

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 ,  区间 I  称为 f (x) 的单调区间 .

 

第 1 章   集合与函数

 

 

y

y= x+1

 

 

 

 

1

 

 

O                  x

 

 

在 (–∞,+∞)  内严格单调增加 .

 

 

 

y=x2

 

 

 

 

 

 

 

 

O                 x

 

 

 

在 (-∞, 0] 上严格单调减少 , 在 [0, +∞) 上严格单调增加 .

 

单调增加 ( 减少 ) 的函数的图形通常为自左至右上升 ( 下 降 )

的曲线 .

 

 

 

2.  奇偶性 .设  f (x) 的定义域 D(f )  关于原点对称，即

丫 x∈D(f ),   有 - x∈D(f ).

(1)  若 丫 x∈D(f ) ，有 f (–x) =f (x) ，则称 f (x)  为偶函数

(2) . 若 丫 x∈D(f ) ，有 f (–x) = – f (x) ，则称 f (x) 为奇函数  偶函.数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称 .

 

第 1 章   集合与函数

例 7   y=x2    是偶函数 ; y =  是奇函数 .

y=x+1  既非奇函数亦非偶函数 .

 

y

 

 

 

 

1

1 x

 

 

 

 

 

 

 

3.   周期性 .   设 f (x) 的定义域为 D( f ).  若存在常数  T ≠ 0, 使                                                                           则称

丫 xf∈)(f为)周,TT∈D称(f为), f ) 的f周(x期± .T )=f ( x ),

 

通常提到“周期 ”是指f (x) 的最小正周期 .

 

 

例 8    y= sin x, cos x  以  2π  为周期 ,  y= tan x, cot x 以 π 为周期

 

y=sin x

 

 

 

 

–2π         -π            O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第 1 章   集合与函数

4.  有界性 设 f (x) 的定义域为 D(f ), 区间 I D (f )  ，若3 M   >0 ,  使 丫 x∈I  都有  |f (x) |≤ M ,  则称 f (x)  在 I  上是有界的 .   这时 M 称为 f (x)  在 I  上的一个“界” .  否则称 f (x)  在

I 上是       的

若 f (x)  在 I  上有界， 则它在 I 上的图形介于两   平行直线 y=M 和 y= －M 之间 .

 

第 1 章   集合与函数

例 10  y=x3   在 [–1,1]  上有界：                      1

 x∈ [–1,1] ,| x3 |≤1.

y          1                                                   – 1            O

y =

x

2                                                                         –1

 

 

 

 

O                    x        例     在

–2                                 11

 

 

若彐 M1,  使 x∈I,  有 f (x)≤M1,  则称f (x) 在 I  上有上 界 . 若彐 M2,  使 x∈I,  有 f (x)≥M2,  则称f (x) 在 I  上有下

界 .

M1

 

b

O  a

 

M2

 

 

 

 

 

第 1 章   集合与函数

三、函数的运算

 

1.   设函数 y=f (x),  x∈A  和 y= g(x),  x∈ B.  若 A = B, 且

 x∈A,  都有 f (x)= g (x),  则称 f (x) 和 g (x)  相等 . 函数的基本要素：

●   定义域

●   对应规则   ● 值  域

 

2.  设函数 y=f (x),  x∈A  和 y= g(x),  x∈ B ， 且 A∩B ≠ ⑦ .  则 可定

义(i)f (f和+ g)() f、(x差) g)、，商的运 A. ∩

(ii)               丫  x∈ A ∩

(iii)  (f  · g)(x) =f (x) · g(x) ，       丫  x∈ A

(iv)             丫x ∈ A∩ B -{x | g(x) = 0}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

例 14. y=u2,  u=sinx 则     y=sin2x

 

例  ,          则     

 

例 17.  y=lg (u–2),   u=sinx

y=lg (sinx –2) 无意义，故不能复合

 

 

4.  反函数  设函数 y =f (x), x∈A  是 A 到 f (A) 的一一对应

 

.

这时 丫 y∈f (A), 3  唯一的 x∈A 使 f (x) = y ，从而确定了 f (A)

到 A  的一个函数，称之为 f  的反函数，记作 易知： f –1   亦为f  A：)    到f( →上一对应

数x f角－度1(看y.).， 函数 f  与反函数 f –1 满 足

f –1 (f (x) ) = x ,  x ∈A  ，

f (f –1 (y) ) = y , y ∈ f (A) .

 

 

例 18.    y=3x+1, x∈R的反函数   y=10x, x∈R   的反函数  y =lg x , x∈(0,+∞)

例 19.   y=x2, x∈[0,+∞)  的反函数 y  , x∈[0,+∞)

y=x2, x∈(–∞, 0]   的反函数 y=–  , x∈[0,+∞) 而   y=x2, x∈R  不存在反函数 .

 

将 y =f ( x )  和其反函数 y =f –1( x )  的图形画在同一个 坐

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第  1

章      集合与函数

 

第 1 章   集合与函数

§3   初 等 函 数

一、基本初等函数

(1)   幂函数   y = xα      ( α  为常数 )

 

y     y=x2

1    x

1

 

 

 

O         1     x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O     1

 

第 1 章   集合与函数

(2)   指数函数   y = ax       (a > 0, a≠1  为常数 ) 例 1  y = ex       (e=2.718281828459045…)

(3)   对数函数   y =log a x    (a>0,a ≠1 为常数 )

( 常用对数 ) ( 自然对数

a >1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

(4)  三角函数    y = sin x,    y = cosx,   y = tanx,

y = cotx,    y = secx,    y = cscx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)   反三角函数

y = arcsin x,   y = arccos x,   y = arctan x,  y = arc cot x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)  常值函数    y = C   (C 为常数 )

 

第 1 章   集合与函数

二、初等函数

 

 

 

 

 

 

 

第 1 章   集合与函数

但也有很多函数不是 “初等”的 .

例如： 符号函数       取整函数  y = [x],  - ∞ < x < +∞.

狄利克莱函数    

 

例 7( )将下列函数“分解” 成基本初等函数 .

由  u= 1– x2 构成 .

 

由  ,  v= 1+ x2   构成 .

 ,

, y=      u= cosv,  构成.

 

第 1 章   集合与函数

 

三、双曲函数

 

双曲正弦函数         双曲余弦函数   

双曲正切函数   

 

双曲余切函数   

 

 

 

第 1 章   集合与函数