2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案94二面角及平面的垂直microsoftword文档doc高中数学.docx

9．4二面角及平面的垂直 一、明确复习目标 1.掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题 2.掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小 3．在研究垂直和求二面角的问题时，要能灵活运用三垂线定理及逆定理 二．建构知识网络 1.二面角、平面角的定义——； 范围：. 两个平面相交成900二面角时，叫两个平面垂直. 2．判定两平面垂直的方法： ①利用“面面垂直的定义〞，即证“两平面所成的二面角是直二面角； ②利用“面面垂直的判定定理〞，即由“线面垂直Þ面面垂直〞. 3．二面角的平面角的作法： ①直接利用定义； ②利用三垂线定理及其逆定理; ③作棱的垂面. 三、双基题目练练手 1.在三棱锥A—BCD中，假设AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有( ) A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC C.平面ADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD 2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查以下命题，其中正确的命题是 （ ） 3.设两个平面α、β，直线l ，以下三个条件：① l ⊥α; ② l∥β;③α⊥β,假设以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成正确命题的个数是 （ ） A.3 B.2 C. 1 D. 0 4.P为△ABC所在平面外的一点，那么点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是 A.PA=PB=PC B.PA⊥BC，PB⊥AC ( ) C.点P到△ABC三边所在直线距离相等 D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等 5．如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD. 6.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，那么两垂足间的距离为_____________. ◆答案提示：1-4.CBBB； 5. MD⊥PC或MB⊥PC ; 6. a 四、典型例题做一做 【例1】 如以下列图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC. （1）求证：AB⊥BC； （2）假设设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小. A B C S E H 证明（1）：作AH⊥SB于H， ∵平面SAB⊥平面SBC， ∴AH⊥平面SBC. ，又SA⊥平面ABC， ∴SA⊥BC.SA∩SB=S， ∴BC⊥平面SAB. ∴BC⊥AB. 解（2）：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC. ∴平面SAB⊥BC，∠SBA为二面角S—BC—A的平面角. ∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E，连结EH. 由(1)知AH⊥平面SBC, ∴AE在面SBC内的射影EH⊥SC，∠AEH为二面角A—SC—B的平面角， AH=a，AC=a，SC=a，AE=a， ∴sin∠AEH=，二面角A—SC—B为60°. 【例2】 正三棱柱ABC—A1B1C1，假设过面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D. （1）确定D的位置，并证明你的结论； （2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D； （3）假设AB∶AA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小. C1 _ B1 _ A1 _ B C A 分析：此题结论不定，是“开放性〞的，点D位置确实定如果仅凭条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行移动，BC1取AE1位置，那么平面AB1E1一定平行BC1，问题可以解决. （1）解：如以下列图，将正三棱柱ABC—A1B1C1补成一直平行六面体ABCE—A1B1C1E1，由AE1∥BC1，AE1平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点. A E1 B1 C1 B C E D A1 （2）证明：连结B1D，那么B1D⊥A1C1;从直三棱柱定义知AA1⊥底面A1B1C1， ∴AA1⊥B1D, 又A1D∩AA1=A1， ∴B1D⊥平面AA1D，又B1D平面AB1D， ∴平面AB1D⊥平面AA1D. （3）解：因为平面AB1D∩平面AA1D=AD，所以过A1作A1H⊥AD于点H.作HF⊥AB1于点F，连结A1F，从三垂线定理知A1F⊥AB1. 故∠A1FH是二面角A1—AB1—D的平面角. 设侧棱AA1=1，侧棱AB=. 于是AB1== . 在Rt△AB1A1中，A1F===， 在Rt△AA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=， AD== . 　∴A1H==. 在Rt△A1FH中，sin∠A1FH==，∴∠A1FH=45°. 因此知平面AB1D与平面AB1A1所成角为450或1350. 【例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小. 解析1.定义法　过D作DE ⊥PC于E， 过E作EF ⊥PC，交BC于F，连接 FD，那么 是所求二面角B-PC-D 的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解△DEF即可.所求角为 B D P C A E F 解析一 解析2.垂面法　易证面PAB⊥面PBC，过A作AM ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN.设面AMN交PC于Q， 那么为二面角B-PC-D的平面角； ∠MAN为它的补角，在三角形AMN中可解.计算较繁. B D P C A Ｍ Ｎ Ｑ 解析二 解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D. 易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD 于F，显然PF ⊥面PDC，在面PCE内， 过E作EG ⊥PC于G，连接GF，由三 线得GF⊥ PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可. B D P C A 解析三 E F G 解析4. 射影面积法。由解析3知，△PFC为△ PEC 在面PDC上的射影，由射影面积公式得 ，所求角为 B D P C A 解析四 E F G 解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC于E，BF ⊥PC于F，连接EF即可.利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可. B D P C A 解析五 Ｅ Ｆ ◆思悟提炼：想一想求二面角都用了哪些方法： 【例4】由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，设ÐASB=a，ÐBSC=b，ÐASC=g，其中a，b，g均为锐角，那么平面ASB^平面BSC的充要条件是cosa×cosb=cosg． 证明：必要性．如图(1), 过点A作AD^SB于D. ∵平面ASB^平面BSC, ∴AD^平面BSC． 过D作DE^SC于E，连AE，那么AE^SC． 在Rt△ADS中，cosa=； 在Rt△DES中，cosb=； (1) g b a E S D A B C 例3． 在Rt△AES中，cosg=，由此可得 cosa×cosb=×==cosg． 必要性得证． 充分性．如图2，过点A作AA1^SB于A1，过点A1作A1C1^SC于C1. 在Rt△AA1S中，cosa=； 在Rt△A1C1S中，cosb=; ∵cosg=cosa×cosb=×=, ∴SC1=SA×cosg． (2) b g a C1¢ C1 S A1 A B C 过A作AC1¢^SC，垂足为C1¢，在Rt△AC1¢S中，SC1¢=SA×cosg． 由此得SC1¢=SC1，即C1¢与C1重合，故SC^AC1． 而SC^A1C1，且AC1IA1C1=C1， ∴SC^平面AA1C1，∴SC^AA1． 又∵SB^AA1，SBISC=S， ∴AA1^平面BSC，而AA1Ì平面ASB， ∴平面ASB^平面BSC．充分性得证． 五．提炼总结以为师 1.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化和应用. 2．求二面角的方法是： ①找（或作）平面角，②用射影法: cosθ=； ③用异面直线上两点间距离公式. 3．作平面角的方法：（1）定义法 （2）三垂线定理； （3）垂面法 . 同步练习 9.4二面角、面面垂直 【选择题】 1. PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，那么以下关系不正确的选项是 ( ) A PA⊥BC B AC⊥PB C PC⊥BC D BC⊥平面PAC 2．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，且二面角B—AD—C的大小为 （ ） A．30° B.45° C．60° D．90° 3．在1200的二面角 内，有一点P到面α、β的距离分别是6和9 ，那么点P到棱l的距离等于 （ ） A．3 B. C. 2 D. 12 【填空题】 4.设a、b是异面直线，α、β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，aβ，bα，那么当_______（填上一种条件即可）时，有α⊥β. 5．(2023浙江)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，那么M、N的连线与AE所成角的大小等于_________． 6．一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β，那么α＋β的范围是_____． ◆答案提示： 1-3. BCB; 4. a⊥b; 5. ; 6.[0°，90°]； 提示:3. l⊥平面PAB于C,PC是ΔPAB外接圆直径，用余、正弦定理. 【解答题】 7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90ο ，E为C1C的中点 ，F 是BB1上是BF=BB1，AC=AA1=2,求平面EFA与面ABC所成角的大小 答案： arctan 8．矩形ABCD中,AB=1, BC=(>0),PA⊥面ABCD,PA=1 （1）问BC边上是否存在一点Q，使得PQ⊥QD并且说明理由 （2）假设BC边上有且只有一个点Q使得PQ⊥QD，求这时二面角Q—PD—A大小 D B A C P Q 解：（1） a=2时只有一点；a＞2时有两点；a＜2时没有点； （2）arctan 9．（2022天津） 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. （Ⅰ）证明PA//平面EDB； （Ⅱ）证明PB⊥平