2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案63不等式的证明Idoc高中数学.docx

2023届大纲版数学高考名师一轮复习教案6.3不等式的证明I 一、明确复习目标 1．理解不等式的性质和证明; 2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 二．建构知识网络 1. 比较法证明不等式是最根本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式： （1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号； （2）比商法：要证a>b且b>0，只须证 1。 说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断； ②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号； 2. 综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为根底，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。 3. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程 4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。 5. 要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。 三、双基题目练练手 1.设0＜x＜1，那么a=x，b=1+x，c=中最大的一个是 ( ) A.a B.b C.c D.不能确定 2.（2023春上海）假设a、b、c是常数，那么“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 设（0，+∞），那么三个数，，的值　　（　） A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2　　D.至少有一个不小于2 4.对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是 ． 5．假设a、b∈R，有以下不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________. 6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,那么v1与v2的大小关系为____________. ◆简答:1-3.CAD; 4. ; 5. ①②; 6.设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2＞v＞0），那么船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1==. ∵v1－v2=－v2=－＜0， ∴v1＜v2.答案：v1＜v2 四、经典例题做一做 【例1】（1）a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a （2）设求证 证明：（1）p= a2+b2+1-ab-a = = 显然p>0 ∴得证 （2）证法一:左边-右边= = = = ∴原不等式成立。 证法二:左边>0，右边>0。 ∴原不等式成立。 ◆提炼方法:比较法.作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用根本不等式放缩，如证法二。 【例2】a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0. 证明法一：（综合法）∵a+b+c=0， ∴（a+b+c）2＝0. 展开得ab+bc+ca=－， ∴ab+bc+ca≤0. 法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0， ∵a+b+c=0， 故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2， 即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0， 亦即证［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0． 而这是显然的，由于以上相应各步均可逆， ∴原不等式成立. 证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b. ∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2 ＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0． ∴ab+bc+ca≤0. 【例3】的三边长为且为正数.求证: 证明一:分析法: 要证 只需证 ① ∵在ΔABC中, ∴①式成立,从而原不等式成立. 证明二:比较法: 证明二: 因为为的三边长, 所以 【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜. （1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1； （2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜. 证明：（1）令F（x）=f（x）－x， ∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根， ∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）. 当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2， ∴（x－x1）（x－x2）＞0. 又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0， 即x＜f（x）. 又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］， ∵0＜x＜x1＜x2＜，x1－x＞0， 1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0， ∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1. 综上，可知x＜f（x）＜x1. （2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2 对称轴为x=x0=－=, () 法2:由题意知x0=－. ∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根， 即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根， ∴x1+x2=－. ∴x0=－==. 又∵ax2＜1，∴x0＜=. 题目点评:函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特别的关注,体会方法,积累经验. 【研讨.欣赏】a＞1，m＞0，求证：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）. 证法1： 取对数得：lg(a+m)－lga>lg(a+2m)－lg(a+m)＞0 ① 又 lga<log(a+m) 即 ② ①×②得: 即loga（a+m）＞loga+m（a+2m） (常见形式logn(n+1)>log(n+1)(n+2)) 法2：loga（a+m）－log（a+m）（a+2m） =－ = ∵a＞1，m＞0， ∴lga＞0，lg（a+2m）＞0，且lga≠lg（a+2m）. ∴lga·lg（a+2m）＜［（）］2 =［］2＜［］2=lg2（a+m）. ∴＞0. ∴loga（a+m）＞log（a+λ）（a+2m）. ✿提炼方法:1.综合法,为什么想到用“〞——感觉式子的结构特征; 2.比较法.把对数的积用均值 不等式化为对数的和是一步关键的决择. 五．提炼总结以为师 1.比较法是一种最重要的、常用的根本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握. 步骤是：作差→变形(分解因式或配方)→判断符号. 对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号. 2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立. 3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用. 4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。 同步练习 6.3不等式的证明I 【选择题】 1.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，那么 ( ) A.x+y≤2+2 B.x+y≥2+2 C.x+y≤（+1）2 D.x+y≥（+1）2 2.假设0<a<b且a+b=1，那么四个数，b，2ab，a2+b2中最大的是 ( ) A. B、b C、2ab D、a2+b2 3.x>0，f(x)=，那么 A、f(x)≤2 B、f(x)≥10 C、f(x)≥6 D、f(x)≤3 4.，（a>2），那么A A、 p>q B、p<q C、p≥q D、p≤q 【填空题】 5.要使不等式≤对所有正数x，y都成立，那么k的最小值是_____ 6. 给出以下不等式,其中正确不等式的序号是_______ ； ， ◆练习简答：1-4. BBCA； 5.; 6. (2)(3) 【解答题】 7.(1)a、b、x、y∈R+且＞，x＞y. 求证：＞ (2) 假设a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1． 证明(1)法一.（作差比较法） ∵－=， 又＞且a、b∈R+， ∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay. ∴＞0，即＞. 证法二：（分析法） ∵x、y、a、b∈R+，∴要证＞， 只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya. 而由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0， 知xb＞ya显然成立.故原不等式成立. (2) (作差比较法) 因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 (a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0， 即　(a+b)3≤23． 又a+b>0,∴a+b≤2. 又∵∴ab≤1. 8．己知都是正数，且成等比数列， 求证： 证明: 成等比数列， 都是正数， 9. 设x>0,y>0且x≠y,求证 证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明 只需 即 只需 由条件,显然成立.∴原不等式成立 10. 求证：在非Rt△ABC中，假设a＞b，ha、hb分别表示a、b边上的高，那么必有a+ha＞b+hb. 证明：设S表示△ABC的面积，那么 S=aha=bhb=absinC. ∴ha=bsinC，hb=asinC. ∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC =（a－b）（1－sinC）. ∵C≠，∴1－sinC＞0. ∴（a－b）（1－sinC）＞0. ∴a+ha＞b+hb. 【探索题】x,y,z∈(0,1)且x+y+z=2,记u=xy+yz+zx,求证： 证明：3u=xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx ==4,故。又 三式相加得 ,两边加上得 ∴ u>1,原不等式得证。