１９８７年全国硕士研究生招生考试试题【编者注】１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．（试卷Ⅲ）一、填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋ａｘ），其中ａ为非零常数，则ｙ′＝，ｙ″＝．（２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是；法线方程是．（３）积分中值定理的条件是，结论是．（４）ｌｉｍｎ→∞ｎ－２ｎ＋１()ｎ＝．（５）∫ｆ′（ｘ）ｄｘ＝，∫ｂａｆ′（２ｘ）ｄｘ＝．二、（本题满分６分）求极限ｌｉｍｘ→０１ｘ－１ｅｘ－１()．三、（本题满分７分）设ｘ＝５（ｔ－ｓｉｎｔ），ｙ＝５（１－ｃｏｓｔ），{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．四、（本题满分８分）计算定积分∫１０ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ．五、（本题满分８分）设Ｄ是由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ＋１与三条直线ｘ＝０，ｘ＝π，ｙ＝０围成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一周所生成的旋转体的体积．六、证明题（本题满分１０分）（１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆ′（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加．（２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇ′（ｃ）＝０，ｇ″（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值．七、（本题满分１０分）计算不定积分∫ｄｘａ２ｓｉｎ２ｘ＋ｂ２ｃｏｓ２ｘ，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数．１１９８７年真题关注公众号【考研题库】保存更多高清资料八、（本题满分１０分）（１）求微分方程ｘｄｙｄｘ＝ｘ－ｙ满足条件ｙｘ＝２＝０的特解．（２）求微分方程ｙ″＋２ｙ′＋ｙ＝ｘｅｘ的通解．九、选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘｅｃｏｓｘ（－∞＜ｘ＜＋∞）是（）（Ａ）有界函数．（Ｂ）单调函数．（Ｃ）周期函数．（Ｄ）偶函数．（２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（）（Ａ）当ｘ→∞时为无穷大．（Ｂ）在（－∞，＋∞）内有界．（Ｃ）在（－∞，＋∞）内无界．（Ｄ）当ｘ→∞时有有限极限．（３）设ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导，则ｌｉｍｘ→０ｆ（ａ＋ｘ）－ｆ（ａ－ｘ）ｘ等于（）（Ａ）ｆ′（ａ）．（Ｂ）２ｆ′（ａ）．（Ｃ）０．（Ｄ）ｆ′（２ａ）．（４）设Ｉ＝ｔ∫ｓｔ０ｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）连续，ｓ＞０，ｔ＞０，则Ｉ的值（）（Ａ）依赖于ｓ，ｔ．（Ｂ）依赖于ｓ，ｔ，ｘ．（Ｃ）依赖于ｔ，ｘ，不依赖于ｓ．（Ｄ）依赖于ｓ，不依赖于ｔ．十、（本题满分１０分）在第一象限内求曲线ｙ＝－...
