线代第二章-【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

第二章矩阵§1矩阵的概念与运算1.1矩阵的定义由mn个数()1,2,,;1,2,,ijaimjn==排成的m行n列数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为一个m行n列矩阵,或称为mn矩阵,记为mnA,或记为()ijmna或()ija.其中ija称为这个矩阵中第i行、第j列的元素.1.2常用的特殊矩阵(1)零矩阵:设()ijmna=A,若所有元素均为零,即()01,2,,;1,2,,ijaimjn===,称A为零矩阵,记=AO.(2)n阶方阵:当mn=时,称()ijnna=A为n阶方阵,记为()ijna.(3)单位矩阵:主对角线上的元素均为1,其余元素均为0的n阶方阵,称为n阶单位矩阵,记作(E或)I.(4)对角矩阵:非主对角线上的元素全为零的n阶方阵称为对角矩阵,记为Λ,则()12120000diag,,,.00nn==Λ当12n====时,称为数量矩阵.由定义可知,数量矩阵等于E.(5)上(下)三角形矩阵:对n阶方阵()ijna,若主对角线元素下(上)方的元素均为零,即当()ijij时,有0ija=,则称此矩阵为上(下)三角形矩阵.仅限浩哥2025届考研课程使用哥2025届考研课程使用限浩哥2025届考研课程使用程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限仅限浩哥2025届考研课程仅限浩哥2025届考研(6)对称矩阵:对n阶方阵()ijna,若ijjiaa=,则称此矩阵为对称矩阵.1.3矩阵的加法设()(),ijijmnmnab==AB,即,AB为同型矩阵,则().ijijmnab+=+AB对于同型矩阵,,ABC有:(1)交换律:+=+ABBA;(2)结合律:()()++=++ABCABC;(3)+=OAA,其中O为与A同型的零矩阵.1.4矩阵的数乘设矩阵(),ijmnak=A是一个数.数k与矩阵A的每个元素相乘后得到的矩阵()ijmnka称为数k与矩阵A的数量乘积,简称为数乘,记作()().ijijmnmnkkaka==A,,ABC为同型矩阵,,kl为常数,有:(1())kkk+=+ABAB;(2())klkl+=+AAA;(3()())klkl=AA;(4)1,0==AAAO.1.5矩阵的乘法设111211112121222212221212,,nsnsmnnsmmmnnnnsaaabbbaaabbbaaabbb==AB则仅限浩哥2025届考研课程使用哥2025届考研课程使用限浩哥2025届考研课程使用程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限仅限浩哥2025届考研课程仅限浩哥2025届考研111212122212ssmsmmmsccccccccc==ABC其中11221nijikkjijijinnjkcabababab===+++.【注】矩阵乘法的前提条件:矩阵A的列数和矩阵B的行数相等.若矩阵,,ABC满足乘法运算的条件,有:(1())+=+ABCABAC;(2())+=+ABCACBC;(3()())=ABCABC;(4)==AEEAA...