2025常微分方程第九章一阶微分方程与可降阶的微分方程第1节第二部分、题型解析题型一：一阶微分方程的求解(★★★)解题思路——几种一阶微分方程都不难求解，属于基础题，将微分方程化简，判断微分方程的类型，然后用相应的方法计算即可.1.可分离变量的微分方程形如()()dyfxgydx=称为可分离变量的微分方程.求解步骤：第一步：分离x和y，写成()()dyfxdxgy=的形式.第二步：两端积分()()gydyfxdx=.第三步：求出通解()()GyFxC=+，可以是显式通解也可以是隐式通解.2.齐次方程形如dyyfdxx=称为齐次方程.求解步骤：第一步：令yux=,即yux=,则.dyduuxdxdx=+第二步：将yux=及dyduuxdxdx=+代入原方程，化成可分离变量方程.()dudxfuux=−第三步：两端积分()dudxfuux=−，得()uux=.第四步：再用yx代替u，得通解().yxux=3.一阶线性微分方程形如()()dyPxyQxdx+=叫做一阶线性微分方程.可利用通解公式来求解()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC−=+.OTiax=IUM,UNITE②RC4.伯努利方程(仅数一)形如()()(0,1)ndyPxyQxyndx+=，其求解步骤如下：第一步：方程的两边同除ny得1()()nndyyPxyQxdx−−+=.第二步：凑微分得111()()1nndyPxyQxndx−−+=−第三步：换元令1nzy−=得一阶线性方程(1)()(1)()dznPxznQxdx+−=−第四步：求(1)()(1)()dznPxznQxdx+−=−的通解()zzx=.第五步：将1nzy−=回代得到原方程的通解为1()nyzx−=.【例9.1.1】已知函数()yyx=在任意点x处增量21yyxx=++，且当0x→时，是比x的高阶无穷小.()0y=，则()1y等于().(A)2(B)(C)4e(D)4eD:07=0x+2,15BOX,ERBE=(i+a)==#=>(a)InM=arcmx-cultmX+C=>y=Ieearcmx=Ceariaxxy10)=z=C=7x=Y=X.earstixY11)=7.earctual=.e]【例9.1.2】求初值问题()2210(0)0xyxydxxdyxy=++−==的解.deY+x=y2E(9++)ax=xdY=>ax-=+HX&u=z,anax=u+xamax,itxalla=ax=>M+Xax=&+1+42=>Inur(x=>InU+Itur=(n(X)+In)=In(I)=>U+Hu==C.X=GXU+1+u=GX=>z+H=GX=y+x+y=CX24(x==0iG==>y+x+y=x=x=y=x-y,84=>x+Y=xx-2y+/=1=x2y=y=x【例9.1.3】求解微分方程323(23)dyxxydxx−−=，10xy==．al=ax+2-3x=y=e(-(ax,()e(-(ax1ax+c=e*+31aX.,/e-5-blux.1ax+c=ex.((e.ax+c=e*.Y.(+)e.a(-*)+4=ex(t-e*+c=E+ce【例9.1.3】求解微分方程323(23)dyxxydxx−−=，10xy==．y=+ce2y(x==O.C=-2:Y=-e*【例9.1.4】求方程32(21)0ydxxydy+−=的通解.=>y.dx=(1-2xy)dy=anax=431-2xyzdXIE-1-2xy"=>&x+x=aly3=>X=e),JeSdMy...
