６６＿聚焦指数函数单调性的应用陆玉婷(新疆托克逊县第二中学ꎬ新疆吐鲁番ꎬ８３８１０３)摘要:单调性是函数的重要性质之一ꎬ而指数函数的单调性更是尤为重要.对于指数函数ｙ＝ａｘ(ａ>０ꎬａ≠１)ꎬ当ａ>１时ꎬ它在实数集Ｒ上单调递增ꎻ当ａ∈(０ꎬ１)时ꎬ它在实数集Ｒ上单调递减.由此可见ꎬ指数函数的单调性并不复杂ꎬ但它的应用却不简单ꎬ它可以用来比较大小、求函数的定义域、求函数的最值或值域、求参数的值或范围、解方程或证明不等式ꎬ还可以解决综合性问题.关键词:指数函数ꎻ单调性ꎻ应用学习函数的目的之一ꎬ就是利用函数的性质解决有关问题.在函数的众多性质中ꎬ单调性最引人注目.指数函数更是如此.我们知道ꎬ对于指数函数ｙ＝ａｘ(ａ>０ꎬａ≠１)ꎬ当ａ>１时ꎬ它在Ｒ上是增函数ꎻ当０<ａ<１时ꎬ在Ｒ上是减函数ꎬ这就是指数函数的单调性.指数函数的单调性看似简单ꎬ它的应用却不简单ꎬ本文举例说明.１由单调性比较大小对于某些底数相同的指数式比大小问题ꎬ可以构造指数函数ꎬ从指数函数的单调性入手.例１已知(ｘ２＋２ｘ＋３)ａ>(ｘ２＋２ｘ＋３)ｂꎬ试比较实数ａ与ｂ的大小.分析:不等式两边的底数相同ꎬ要比较指数的大小ꎬ关键考察底数与１的大小关系.解:由于ｘ２＋２ｘ＋３＝(ｘ＋１)２＋２≥２>１ꎬ所以函数ｆ(ｔ)＝(ｘ２＋２ｘ＋３)ｔ在Ｒ上是增函数ꎬ又因为(ｘ２＋２ｘ＋３)ａ>(ｘ２＋２ｘ＋３)ｂꎬ所以ａ>ｂ.点评:本例是指数函数单调性的逆向应用.利用指数函数单调性比较两数的大小ꎬ前提条件必须是底数相同ꎬ且能与１比出大小ꎬ否则需分类讨论或引进第三个量进行比较.２由单调性求函数的定义域对于某些与指数函数复合的函数ꎬ求它的定义域时ꎬ往往要转化为不等式ꎬ这时需用到指数函数的单调性.例２求函数ｙ＝２２ｘ＋２ｘ－６的定义域.分析:由于函数解析式中含有二次根号ꎬ所以被开方的部分必须大于或等于零.解:要使ｙ＝２２ｘ＋２ｘ－６有意义ꎬ只需２２ｘ＋２ｘ－６≥０ꎬ即(２ｘ＋３)(２ｘ－２)≥０.因为２ｘ>０ꎬ所以２ｘ＋３>０ꎬ故只需２ｘ－２≥０ꎬ即２ｘ≥２.由于函数ｙ＝２ｘ在Ｒ上是增函数ꎬ故只需满足ｘ≥１即可ꎬ故原函数定义域是[１ꎬ＋∞).点评:这种方法一般用于解决含有指数函数的式子定义域问题ꎬ体现了指数函数单调性的逆向应用.３由单调性求函数的最值或值域对于一类与指数函数复合的函数(或称其为指数型函数)的值域或最值问题ꎬ往往可以将其分解成两个函数ꎬ其中一个为指数函数ꎬ而另一个为其它的初等函数....
