第八章——中值定理1（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.01.29粉笔考研·官方微信1第八章——中值定理1（笔记）【注意】简单几何体的体积在考试中的占比非常高，尤其数二、三每年几乎都有一个大题，属于必考题型。【注意】1.平行截面面积已知的立体图形的体积：立体在过x=a，x=b且垂直于x轴的两个平面之间（如上图所示），以S（x）表示过点x且垂直于x轴的截面面积，则所求立体的体积为V=abS（x）dx�。2.以黄瓜为例，用刀切为黄瓜片（纵切），每片的横截面积是知道的，这个2称为平行截面面积已知的几何体。3.不规则的几何体的体积计算所用到的是微元法：（1）分割：沿着自变量的方向。（2）近似。（3）求和。（4）取极限。【解析】例6.半径为R，高度为h，核心是表示出x处横截面的面积，先建立坐标系，原点建立在圆锥的顶点处，沿着该方向建立x轴，圆锥的横截面是一个圆，表示出圆的面积即可，可以转化为二维图形分析。3【注意】旋转体的体积：由连续曲线y=f（x），直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形（如上图所示）绕x轴旋转一周而成的立体是旋转体，该立体的体积为V=abπf2（x）dx�。1.微元法：（1）分割：沿着自变量方向分割。（2）近似：横截面积可以近似看为不变。（3）求和：（4）取极限。2.通过简单几何体的体积，平行截面面积已知的几何体的体积，只要可以表示出x处的面积即可，这种模型叫做截面法。3.y=f（x），自变量为x，旋转轴为x轴，它们是一样的，一样即平行，可以用截面法。4.y=f（x），x=a，x=b，与x轴所围的图形绕y=-1旋转，自变量为x，旋转轴虽然不是x轴，但是与x轴平行，也属于截面法的情况，核心是找出横截面面积。4【注意】假设y=f（x）与x=a，x=b，y=-1所围成的图形，绕y=-1旋转一周所得的旋转体体积公式。自变量为x，旋转轴与x轴平行，用截面法，需要表示出横截面积，横截面积要找半径，需要注意旋转后不是圆环，整个图形与选项轴中间没有空隙，V==abπ[f（x）+1]2dx�。【注意】该方法叫作截面法，适用于函数自变量与旋转轴方向平行的情况，截面法的关键是表示出坐标轴上任意一点且垂直于坐标轴的截面面积，再取定积分即得几何体体积。如：设函数f（x）≤g（x）≤m，x∈[a，b]，则曲线y=f5（x），y=g（x）与直线x=a，x=b所围成的图形绕直线y=m旋转一周所得到的旋转体体积为V=πab[m−f（x）]2−[m−g（x）]2dx�。【注意】1.由曲线y=f（x），直线x=a，x=b（0＜a＜b）及x轴所围成的曲边梯形（如上图所示）绕y轴...
