考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）1为中华之崛起而读书数列极限的计算与证明（习题与作业）题型一、利用恒等变形计算数列极限例题1(第2届竞赛)设，其中，求.类题(第3届竞赛)设，求.例题2类题例题3注：；；.题型二、递推数列的极限（单调有界）单调有界准则能解决考研真题中几乎所有的递推数列极限，大家不必学习过多其它的方法.注：并非所有的收敛数列都单调，比如收敛于0但并不单调.本讲义只讲单调的情况.例题4(1996年)设，，证明收敛并求极限值.类题设，.证明收敛，并求.注1：通过本题来回顾“数学归纳法”，并且梳理一下证明数列“单调有界”时的最基本的思路.注2：在使用单调有界准则处理递推数列的极限时，先证明有界性还是先证明单调性都可以，但一般来说先从有界性下手.因为很多时候，单调性往往“依赖于”有界性的那个“界”到底是几.注3：通过这两道题的讲解，我们学到了证明递推数列收敛的几个思想——(1)在草稿纸上令，解方程，先求出极限值，做到“心中有数”；(2)若题干告诉了首项的具体值，则可以比较和大小（以下假定），从而猜测出的单调性，并根据单调性推测出有界性和具体的界（界的值，往往就是极限）——比如，，那么我们有理由猜测单调递增，且上界就是极限值，接下来就可以开始正式的证明了；(3)证明有界性：利用数学归纳法，证明恒成立（也可以用其他方法，比如直接放缩）；(4)证明单调性：，再根据可知，只需要构造函数，然后证明在时恒成立即可.考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）2为中华之崛起而读书注4：对于递推数列而言，还可以通过本身的单调性，推出数列的单调性：若递增，且，则，即；继续套一个，则，即，如此重复下去，可推出恒成立，即递增；若递增，且，则，即；继续套一个，则，即，如此重复下去，可推出恒成立，即递减；若递减，则不单调，但的奇子列和偶子列各自单调，且单调性相反.其中，结论的证明如下——假设，两边套上，由于递减，故；在两边不断套上，可以推出、、…，故单调递增；在两边不断套上，可以推出、、…，故单调递减.故一定不单调，但和一定各自单调，且单调性相反.有了以上这些思想和结论，做题自然就更加得心应手了.当然，上面的内容并不是金科玉律，数学的解题也并不是一成不变的，比如下面的例题2，直接利用均值不等式便可以求出数列的界.当然，这样得到的界，不一定是最精确的界，最精确的界一定是极限值.注5：通过“注4”中的结论我们可以发现，如果修改题目中首...
