２５７§6.2辏力场中的弹性散射（分波法）一、薛定谔方程在∞→r时的渐近解具有能量为E的粒子在靶粒子的势场)(rUr中运动，)(rUr只与rr的大小有关（奏力场的特点），其定态Schrodinger方程为（6.1－7）0)]([22=−+∇ψψrVk（2－1）zLLˆ,ˆ2与Hˆ可对易，在它们的共同本征态中，三者可同时具有确定值。取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴（如前图），这个轴是旋转对称轴。在§3.3讨论过该方程，方程的一般解为：∑=lmlmlYrRr),()(),,(ϕθϕθψ（没有n，因为E已知且连续），因为势场与ϕθ,无关，且入射粒子束与ϕ无关，故波函数与ϕ无关。即0)(=×=zzprLrr，即0=m，角动量垂直z轴。则（2－1）的一般解可写为∑=lllPrRr)()(),(θθψ，（2－2）展开式中每一项称为一个分波，即)()(θllPrR为第l个分波，每个分波都是方程（2－1）式的解，L,2,1,0=l分波分别称L,,,dps分波。)(rRl满足径向方程0)(])1()([)(12222=+−−+rRrllrVkdrdRrdrdrll，（2－3）其中222hEkμ=，)(2)(2rUrVhμ=。（2－4）２５８令rrurRll)()(=，则（2－3）化为0)(])1()([)(2222=+−−+rurllrVkdrrudll，（2－5）当∞→r时，上式的渐近形式为（因为)(rU未知，做一般讨论，但知0)(⎯⎯→⎯∞→rrU）0)()(222=+rukdrrudll，（2－6）其解为)sin()(''lllkrAruδ+=。为讨论方便我们引入πδδlkAAllll21,''+==，所以有krlkrAkrrArurRllllrll)2/sin()sin()(''δπδ+−=+⎯⎯→⎯=∞→。（2－7）在∞→r时，方程仍保留求和指标l，渐近解中的常数也加指标是为了强调，虽然在∞→r时粒子是自由运动，方程及解的形式应与§6.1中的波函数相同，但在靶中心A附近时，粒子受到)(rU的作用，方程应与l有关，不同的l粒子对应不同的解，当∞→r时它们的形式当然应当有所不同。llAδ,就具有这样的记忆功能（尽管我们没有具体考察相互作用的影响，给定)(rU后，求解方程，就能得出llAδ,的数值）。一般解),(θψr应包含各种l的解（相当入射束中有各种角动量值的粒子），把（2－7）代入（2－2）得渐近形式为)(cos)2/sin(),(0θπδθψllllrPlkrkrAr−+⎯⎯→⎯∑=∞→，（2－8）２５９叠加系数包含在lA中。二、与渐近解的一般形式比较求)(θf在§6.1中我们得到refeikrikzr),(ϕθψ+⎯⎯→⎯∞→，因体系的波函数与ϕ无关，即refeikrikzr)(θψ+⎯⎯→⎯∞→，（*）把（2－8）式写成上式的形式并进行比较就可求得到)(θf。利用数学知识将平面波ikze按球面波展开（公式见梁昆淼P410）)(cos)()12...
