４１§2.3薛定谔方程—微观粒子的运动方程重点：薛定谔方程是量子力学的基本假设之一难点：薛定谔方程的理解经典力学中，质点的状态由p,rvv描写，它们遵从牛顿定律；量子体系的状态由Ψ描写，应找出与牛顿定律相当的运动方程，作为量子力学的基本方程，它决定Ψ随时间的变化规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态迭加原理的基础上，提出了薛定谔方程作为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。一、量子力学运动方程（dingeroSch&&方程）应满足以下条件1.方程中仅含有Ψ关于t的一阶导数t∂Ψ∂，不能含有t的二阶以上的导数,...t22∂Ψ∂。因假定)t,r(vΨ完全描写体系的状态，给定了)t,r(0vΨ后，根据方程可求得以后任何时刻的态，而且是唯一的，故方程中不能含,...t22∂∂否则描写态还需知道,...t0tt=∂Ψ∂。2.方程中关于Ψ及Ψ对时、空导数应为线性的。因迭加原理要求，如,...,...,n21ΨΨΨ是体系的可能态，即方程的解，则∑Ψ=Ψnnnc也是体系的一个可能态，即也是方程的一个解。４２3.方程中不能含有决定体系状态的具体参量，如L,p,Evv等，这样方程才具有普遍意义，否则是描写某一个E或pv有确定值的方程。二、方程的建立（非推导）建立过程：自由粒子波函数所满足的方程→推广到一般。1.自由粒子的波方程（自由粒子的dingeroSch&&方程）（从自由粒子平面波出发）已知)Etrp(iAe)t,r(−⋅=Ψvvhv是所要建立方程的解而Ψ−=−=∂Ψ∂−⋅EiEAeit)Etrp(ihhvvh，即：Ψ∂∂=ΨtiEh(1)Ψ=Ψ∇pivh；Ψ−=Ψ∇222ph，即：Ψ∇−=Ψ222ph(2)其中：2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇。利用自由粒子的能—动关系式μ=2pE2有：Ψ∇μ−=Ψμ=Ψ=∂Ψ∂22222pEtihh即：Ψ∇μ−=∂Ψ∂222tihh(3)为满足前面的条件自由粒子的波方程。2.一般力场的薛定谔方程从Ψ∂∂=ΨtiEh和Ψ∇−=Ψhvip可以看出，粒子能量E和动量pv分别与下列作用在波函数上的数学符号相当，即：４３tiE∂∂↔h；∇−↔hvip(4)它们分别叫作能量算符与动量算符。可见：如果把μ=2pE2两边同乘以Ψ再以tiE∂∂↔h、∇−↔hvip代入即可得自由粒子的波方程，即：Ψ∇μ−=∂Ψ∂222tihh。如果粒子在一般力场中运动，即0)t,r(U≠v，则)t,r(U2pE2v+μ=，两边同乘以Ψ，有：Ψ+Ψμ=Ψ)t,r(U2pE2v把tiE∂∂↔h、∇−↔hvip代入得：Ψ+Ψ∇μ−=∂Ψ∂)t,r(U2ti22vhh(5)此方程满足量子力学运动方程（dingeroSch&&方程）应满足的三点要求，称之为dingeroSch&&方程或波动方程。说明：①ding...
