考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）1为中华之崛起而读书连续性、间断点、渐近线（理论）主讲人：凯哥一、连续性与间断点（一）连续性若，则称在处连续；若在内的每一点都连续，则称在内连续；若在连续的前提下，还有，，则称在连续.注1：两个连续函数经过加、减、乘、除（需要保证分母不为零）、复合运算后的函数，仍然是连续函数；注2：初等函数在其定义区间一定连续；注3：有时候，我们也会把“”写成增量形式“”，这两种写法没有本质上的区别，但是有些证明题中往往使用第二种形式会更加方便，尤其是证明抽象函数的连续性时.（二）间断点若在的邻域（或去心邻域）有定义，那么若在处不连续，则称为的间断点.若是的间断点，则一定是下列三种情况之一——(1)在处无定义；(2)在处有定义，但不存在；(3)在处有定义，且存在，但.考纲中将间断点分成了第一类和第二类，其中第一类中有且仅有可去和跳跃，第二类包括无穷和振荡.1.第一类间断点(1)若和都存在，且，则称为可去间断点；(2)若和都存在，但，则称为跳跃间断点.注：若，但无定义，那么也是可去间断点.2.第二类间断点若和中至少有一个不存在，则称为的第二类间断点.第二类间断点又可以分为无穷间断点和振荡间断点等等（第二类间断点不止这两种）.(1)若和至少有一个是，则称是无穷间断点；(2)若和至少有一个上下振荡，则称是震荡间断点.比如在处就是无穷间断点，在就是振荡间断点.注：有同学可能会想——有没有这样一种函数，是无穷大，是上下振荡（如分段函数），那么到底是无穷间断点还是振荡间断点呢？emmmm，你小子卡bug是吧？别问，问就是不考….考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）2为中华之崛起而读书（三）闭区间上连续函数的性质1.最值定理设，则在上一定存在最大值和最小值.2.介值定理设，则对于，均，使得.3.零点定理设，且，则，使得.注：与“闭区间上连续函数的性质”有关的题一般都是证明题，该题型会在微分中值定理的时候集中讲解，大家在这里只需要知道这几个定理本身即可.二、渐近线（一）水平渐近线若，则称直线是曲线的一条水平渐近线；同理，若，则直线也是曲线的一条水平渐近线；注：水平渐近线最多只能有两条！（二）竖直渐近线若或或，则称直线为曲线的竖直渐近线.注1：竖直渐近线可以有无数条，比如，每一条直线都是它的竖直渐近线.注2：求竖直渐近线的第一步，是先找“可疑点”，也就是哪些点的位置可能产生竖直渐近线——一般来说，主要考察无定义...
