考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）1为中华之崛起而读书不定积分（理论）一、原函数与不定积分设和都是定义在区间上的函数，若恒成立，则称为在区间上的一个原函数.很显然，的不同原函数之间只相差不同常数（常函数求导为0）.将的全体原函数称为的不定积分，记为，其中为任意常数.注：从定义可以看出，求不定积分和求导互为逆运算.（所以我们经常说，导出来、积回去…嗯）二、不定积分基本公式（背，和求导公式差不多）1.（为常数）2.(1)(2)3.(1)(2)4.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)6.线性性质：.注：以上公式必须牢牢记住，也建议大家推导一遍.考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）2为中华之崛起而读书三、四大核心计算方法——凑微分、换元法、分部积分、有理函数积分（一）凑微分法该方法几乎随时都在用，十分重要，它是“复合函数求导法则”的逆用，主要涉及的公式是.比如，.再比如，.将这两道题的方法抽象出来，即——，其中是的一个原函数.可以看出，凑微分的作用是“将凑进去的部分当成一个整体，以简化计算”.注：以下是一些简单且常用的凑微分（不用背，但需要熟悉）——(1)(2)(3)(4)推广：(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)类似的凑微分，非常多…考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）3为中华之崛起而读书（二）换元法换元法（也叫变量替换）是一种应用范围非常广泛的数学思想方法.在不定积分中，换元法的目的是将那些不便于直接积分的东西，通过变量替换给消去，以达到简化被积函数的作用.比如，被积函数中出现了，如的计算，我们可以令，就将根号去掉了，反解出，两边微分，得，故，这样就没有根号了.再比如，在二重积分中，若被积函数里出现了，那么就可以用极坐标换元，令，则，这样也就去掉了根号，大大简化了被积函数.在总结一般性的结论之前，我们先通过两个简单的例子直观感受一下换元法的威力——示例1求解：令，故，.最后不要忘了将变量换回去，即.示例2求解：如果仍然令，表面上是消去了根号，但是我们计算时，需要反解，这仍然很复杂！令，故，故.最后不要忘了将变量换回去，即，故.总结：见到被积函数中出现以下标志，就可选择相对应的换元，从而简化被积函数——(1)出现令整个根号等于；(2)出现令或；(3)出现令；(4)出现令.考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）4为中华之崛起而读书示例1示例2示例3（三）分部积分法分部积分的证明很简单，只需在的两边同时积分，得...
