高数第八章二重积分79-82节课讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

赵军高等数学零基础课程一、二重积分的定义定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域),,,2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数I,使nkkkkfI10),(lim可积,),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,如果在D上可积,),(yxf元素d也常记作,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划yxO二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理1.在D上可积.在有界闭区域D上连续,则二、二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k为常数)Dyxgyxfd)],(),([.2Dyxfd),(.3,1),(.4yxfD上若在DDdd1为D的面积,则),,(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(21d),(d),(DDyxfyxf特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设),,(min),,(maxyxfmyxfMDDD的面积为,MyxfmDd),(则有7.(二重积分的中值定理)),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使连续,xyO8.设函数),(yxfD位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有1:,221yxDD为圆域例如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0D例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx2)1()2(22yx它在与x轴的交点(1,0)处与直线.1相切yx,1yx从而d)(d)(32DDyxyx而域D位于直线的上方,故在D上1y2x1OD例2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0