2025定积分与反常积分第七章题型六、定积分等式证明(★★★)解题思路：定积分等式的主要思想是“拼凑”：从待证等式的一端出发拼凑出另一端.常可利用以下方法：(1)定积分换元法；(2)分部积分法；(3)积分中值定理.(4)转化成函数恒等式的证明.【例7.1.17】若()fx是连续函数，证明000()()()xuxftdtduxufudu=−.【例7.1.18】设()fx连续，证明：11000(1)ln()lnln()()xftfxtdtdtftdtft++=+.题型七、定积分不等式证明(★★★)解题思路：定积分不等式的证明，常可利用以下方法：(1)函数化成函数不等式来证明；(2)定积分换元法、分部积分法等；(3)出现高阶导数，考虑泰勒公式.(4)用定积分的不等式：()|()|bbaafxdxfxdx.【例7.1.19】设()fx在[,]ab上连续，单增，证明()()2()bbaaabfxdxxfxdx+.【例7.1.20】设()fx在[,]ab上二阶可导,且02abf+=max(),axbMfx=.证明:3()()24baMbafxdx−.反常积分第二节第一部分知识点解析一、无穷限反常积分(1)()afxdx+；(2)()bfxdx−；(3)()()()aafxdxfxdxfxdx++−−=+,若右端两个反常积分都收敛，则称()fxdx+−收敛，否则称为发散.二、无穷限反常积分的计算设()fx连续,()Fx是()fx的一个原函数，则(1)()lim()().axfxdxFxFa+→+=−(2)()()lim()bxfxdxFbFx−→−=−.(3)00()()()fxdxfxdxfxdx++−−=+,先在0x=处拆开再分别计算.三、无穷限反常积分的审敛法收敛原则：1.参照物——已知敛散性的积分：.2.无穷限反常积分的比较审敛法设()fx在区间[,)a+上连续，且()0fx.四、无界函数的反常积分如果()fx在点a的任一邻域内都无界那么点a称为()fx的瑕点.含有瑕点的积分称为无界函数的反常积分，又称为瑕积分.瑕积分分为(1)()bafxdx，其中a为瑕点.(2)()bafxdx，其中b为瑕点.(3)(,)cab是()fx的唯一瑕点，()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx=+，如果右端都收敛，则()bafxdx收敛，否则发散.五、无界函数的反常积分的计算1.当a为瑕点时()()()lim()bbaaxafxdxFxFbFx+→==−.2.当b为瑕点时()()lim()()bbaaxbfxdxFxFxFa−→==−3.当(,)cab为瑕点时()()()lim()()()lim()bcbaacxcxcfxdxfxdxfxdxFxFaFbFx−+→→=+=−+−.六、无界函数的反常积分审敛法收敛原则1.已知敛散性的瑕积分2.无界函数的反常积分的比较审敛法设函数()fx在区间(,]ab上连续,且()0fx,a为()fx的唯一瑕点，则第二部分题型解析...
