高数第九章无穷级数01-09节课讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

赵军高等数学零基础课程一、常数项级数的定义定义：给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数，其中第n项nu叫做级数的一般项,次相加,简记为级数的前n项和nkknuS1称为级数的部分和.nuuuu321,lim存在若SSnn收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作1nnuS,lim不存在若nnS则称无穷级数发散.当级数收敛时,称差值21nnnnuuSSr为级数的余项.显然0limnnr例1.判别下列级数的敛散性:.)1(1)2(;1ln)1(11nnnnnn解:(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和23ln34lnnn1ln(2))1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为1.31214131111nn技巧:利用“拆项相消”求和例2.讨论等比级数(又称几何级数))0(20aqaqaqaaqannn(q称为公比)的敛散性.解:1)若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q,0limnnq由于从而qannS1lim因此级数收敛,;1qa,1时当q,limnnq由于从而,limnnS则部分和因此级数发散.其和为2).若,1q,1时当qanSn因此级数发散;,1时当qaaaaan1)1(因此nSn为奇数n为偶数从而nnSlim综合1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则,级数成为,a,0不存在,因此级数发散.)0(,0aqann二、级数收敛的必要条件设收敛级数,1nnuS则必有.0limnnu证:1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,,1)1(544332211nnn其一般项为1)1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数nnn13121111虽然，01limlimnunnn但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以假设不真.21三、无穷级数的基本性质性质1.若级数1nnu收敛于S,,1nnuS则各项乘以常数c所得级数1nnuc也收敛,...