高数第四章不定积分36-43节课讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

赵军高等数学零基础课程一、原函数与不定积分的概念定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数,)()(的一个原函数是若xfxF定理2.的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)((C为任意常数)内.证:1)的原函数是)()(xfCxF))((CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx又知)()(xfxF])()([xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C它属于函数族.)(CxF即定义2.)(xf在区间I上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,,d)(xxf其中—积分号;)(xf—被积函数;xxfd)(—被积表达式.x—积分变量;若,)()(xfxF则CxFxxf)(d)((C为任意常数)C称为积分常数,不可丢!例如,xxdeCxexxd2Cx331xxdsinCxcos记作xdd)1(xxfd)()(xf从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:xy2xxyd2Cx2所求曲线过点(1,2),故有C2121C因此所求曲线为12xyyx)2,1(O例2.已知22221d1d1xxBxxAxxx求A,B.解:等式两边对x求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA二、基本积分表利用逆向思维xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln时0x)1(])ln([)ln(xxx121d)4(xxCxarctan21d)5(xxCxarcsinxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtanxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcotxxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxxde)12(Cxexaxd)13(Caaxln例3.求.d3xxx解:原式=xxd34134Cx313134xC例4.求.dcossin22xxx解:原式=xxdsin21Cxcos21三、不定积分的性质xxfkd)(.1xxgxfd)]()([.2推论:若,)()(1xfkxfinii则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k例5.求.d)5(e2xxx解:原式xxxd]25e...