2025多元函数微分学第十章多元函数微分学的计算第二节本节要点题型一：多元复合函数的偏导数与全微分(★★★★)1外层为多元函数内层为一元函数的情形设(,)zfuv=，其中(),()uuxvvx==，则()(,)()(,)()uvzxfuvuxfuvvx=+.2.外层为多元函数内层也均为多元函数的情形设(,)zfuv=,(,)uuxy=,(,)vvxy=，则(,)(,)(,)(,)(,)xuxvxzxyfuvuxyfuvvxy=+,(,)(,)(,)(,)(,)yuyvyzxyfuvuxyfuvvxy=+.3.外层为多元函数，内层既有一元函数又有多元函数的情形设(,)zfuv=，(,)uuxy=，()vvy=，则(,)(,)(,)xuxzxyfuvuxy=,(,)(,)(,)(,)()yuyvzxyfuvuxyfuvvy=+.4.外层为一元函数，内层为多元函数的情形设()zfu=，(,)uuxy=，则(,)()(,)xxzxyfuuxy=，(,)()(,)yyzxyfuuxy=.解题思路——如果求多元复合函数的偏导数或全微分，基本思路是利用多元复合函数的链式求导法则来计算.也可以用全微分的形式不变性求解.【例10.2.1】设(,)()xyzfxygyx=+，其中,fg有连续二阶偏导数，则2zxy______.【例10.2.2】函数()222ufxyz=++具有二阶连续导数,则计算222222uuuxyz++.【例10.2.3】已知(,)fuv具有二阶连续偏导数,且满足22221ffuv+=,又22(,),2xygxyfxy−=,求2222ggxy+.题型二：求多元隐函数的导数、偏导数或全微分(★★★★)一、隐函数的存在性1.二元方程(,)0Fxy=的隐函数存在定理2.三元方程(,,)0Fxyz=的隐函数存在定理二、多元隐函数的偏导数计算情形1、一个方程型若(,,)0Fxyz=确定了一个二元隐函数(,),zfxy=则法一：直接求导法(,,)0Fxyz=两边对x求导，(,)zzxy=要对x复合求导，然后解出zx；同理解出zy.法二：公式法若0zF，则xzFzxF=−，yzFzyF=−.法三：全微分法利用全微分的形式不变性，对(,,)0Fxyz=两边同时求微分，则可以解出dz.又因为zzdzdxdyxx=+，则可同时解出,zzxx.注：若求隐函数的二阶偏导数，则只能对zx和zy用直接求导法.情形2、方程组的情形设有2个四元方程(,,,)0Fxyuv=(,,,)0Gxyuv=，求,,,uuvvxyxy.直接求导法方程组同时对x求偏导，,uv看成,xy的二元函数，y看成常数，得方程组：0,0.xuvxuvuvFFFxxuvGGGxx++=++=，随后可解方程组求出,uvxx.同理，方程组同时对y求偏导，,uv看成,xy的二元函数，x看成常数求出uyv...
