试卷第1页，共3页学科网（北京）股份有限公司第26题“等”生“不等”扑朔迷离，改变结构柳暗花明已知，，求证：．本例条件是两个等式，要证明的是一个不等式，属于“等”生“不等”题型，由于条件中字母比较多，而所求的是c的范围，消元是最为关键的解题步骤，思路一是，运用代入消元法消去c后由基本不等式整理得关于的不等式求出的取值范围，由条件解得c的取值范围．由得，将此代入，并化简整理，得试卷第2页，共3页，又．∴，则有，即，解之得．即，解得．（2024·河北石家庄·二模）1．若实数，且，则的取值范围是.本例条件是两个等式，要证明的是一个不等式，属于“等”生“不等”题型，由于条件中字母比较多，而所求的是c的范围，消元是最为关键的解题步骤，思路二是，由条件结合基本不等式构造关于c的不等式，解之即得．依题意得消元得．整理得，解得．（2024高三·全国·专题练习）2．已知实数a，b，c满足．试卷第3页，共3页学科网（北京）股份有限公司(1)若，求证：；(2)若a，b，，求证：．本例条件是两个等式，要证明的是一个不等式，属于“等”生“不等”题型，由于条件中字母比较多，而所求的是c的范围，消元是最为关键的解题步骤，思路三是，运用反证法，即假设或，依次推出与条件矛盾的结果．假设或，当时，则，这与已知矛盾；当时，则，，，∴，．事实上，由得，∴与矛盾．综上所述，假设或不成立．∴．（22-23高一上·上海长宁·期中）试卷第4页，共3页3．已知实数，，．(1)若，求的值；(2)求证：；(3)用反证法证明：．本例条件是两个等式，要证明的是一个不等式，属于“等”生“不等”题型，由于条件中字母比较多，而所求的是c的范围，消元是最为关键的解题步骤，思路四是，消去a得关于b的一元二次方程，c为参数，由方程有实根得，解之即得.由得，将此式代入并化简整理（实质是消去a），得．依题意知上述关于b的一元二次方程在实数范围内有解，则，即，解得．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）4．已知，，则的最大值为（）试卷第5页，共3页学科网（北京）股份有限公司A．B．C．D．【点评】1.给出一个或若干个等式，要求某一等式的取值范围或某一字母的取值范围或求其最值，这类题目称之为“等”生“不等”，即通过相等关系导出不等关系，可以通过适度“放缩”实现．2.处理这类问题往往从两方面入手：①要特别重视挖掘数学问题中的隐含条件，使原有条件明朗化或者变得更丰富，以此获得对问题的准确理解和正确分析，做出正确的推...
