第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算学习目标素养目标学科素养1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点）3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度.（重点、难点）1.数学抽象;2.数学运算；3.逻辑推理。自主学习已知两个非零向量a与b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把a·b＝|a||b|cos,ab叫做a与b的数量积(或内积)。类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？自主学习一．空间向量的夹角1.已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的，记作．2.a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是。当〈a，b〉＝0时，a与b；当〈a，b〉＝π时，a与b；当〈a，b〉＝π2时，a与b．〈a，b〉[0，π]方向相同方向相反互相垂直夹角自主学习1.概念：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．二．空间向量数量积2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c=,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。|a||b|cos,abcos,baabb自主学习3.性质及应用性质应用若a，b为非零向量，则a⊥b⇔用于证明线线垂直a·a＝|a||a|cos,aa＝|a|2，即|a|＝，推广：|a±b|=2222abaab+b.用于求长度cos,ab＝用于求异面直线所成角a·b＝0a·aa·b|a||b|自主学习4.运算律(1)(λa)·b＝；(2)a·b＝(交换律)；(3)a·(b＋c)＝(分配律).λ(a·b))b·aa·b＋a·c解读：向量数量积的运算不满足消去律（a·b＝a·c不能推出b＝c）和乘法的结合律（(a·b)·c≠a·(b·c)）．小试牛刀1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.()(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.()(3)对于非零向量a，b，,ab与,ab相等．()(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.()(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()√√×××√小试牛刀2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则两直线的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°B解析：设向量a，b的夹角为θ，则cos＝a·b|a||b|＝－12，所以θ＝120°，则两个方...
