1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司重难点突破03直线与圆的综合应用目录题型一：距离的创新定义例1．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知，P为内一点，记，则的最小值为，此时.【答案】【解析】设为坐标原点，由，知，且为锐角三角形，因此，费马点F在线段上，设，2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司则为顶角是120°的等腰三角形，故，所以；在中，由正弦定理，得，即，解得，即此时.故答案为：；例2．（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，设，因为点A、B分别在函数和的图象上，所以，当且仅当时等号成立.设，，则，令，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，即，所以的最小值为.故选：A.例3．（2023·全国·高三专题练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（）3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，，则，即为点到和点三个点的距离之和，则△ABC为等腰三角形，如图，由费马点的性质可得，需满足：点P在y轴上且∠APB＝120°，则∠APO＝60°，因为|OA|＝|OB|＝2，则，所以点坐标为时，距离之和最小，最小距离之和为.故选：B.变式1．（2023·全国·高三专题练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：①若，则；②若，...
