1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司重难点突破05立体几何中的常考压轴小题目录题型一：球与截面面积问题例1．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，，，，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 ，为边长为的等边三角形，∴为正三棱锥，2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司取的中点，连接，则，，平面，所以平面，平面，所以，又，，∴，∴，又，，平面PAC，∴平面PAC，平面PAC，∴，∴，∴为正方体的一部分，可得外接球的半径为，取的中点，连接，可得，，所以，过点E作球O的截面，设截面与棱的交点分别为，当OE垂直时截面面积最小，此时即为截面圆的圆心，截面圆半径为，截面面积为.故选：A．例2．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为；③过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【解析】选项①中，如图（1）所示，找的中点，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面，则,，所以四边形为平行四边形，找的中点,连接，因为，所以平面，所以平面，平面，所以，所以，所以四边形为矩形，，，所以截面的面积，故①正确；选项②中，中，由勾股定理得：，同理，过点作,则，所以由勾股定理得：，所以，由选项①可得：平面,所以，，故②错误；选项③中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得，，所以外接球的半径，截面面积的最大值为；平面截得的面积为最小面积，半径，截面积最小为，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故③正确.图（1）4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司图（2）例3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点是线段的中点，过点作球的截面，则所...
