1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司重难点突破06双变量问题目录破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.题型一：双变量单调问题2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．【解析】（1）当时，，，切点为求导，切线斜率曲线在处的切线方程为．（2），的定义域为，求导，在上单调递减．不妨假设，∴等价于．即．令，则．，，．从而在单调减少，故，即，故对任意．例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数.（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）的定义域是..（1）当时，，的定义域内单增；（2）当时，由得，.此时在内单增，在内单减；3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（3）当时，，的定义域内单减.（Ⅱ）因为，所以，.此时.由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减.不妨设，则，即，即恒成立.令，，则在内单减，即.，，.而，当且仅当时，取得最小值，所以，故实数的取值范围是.例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若时，任意的，总有，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）（）①当时，故在上单调递增；②当时，故在上单调递减；③当时，令解得则当时；当时，故在上单调递减；在上单调递增；综上所述：当时，故在上单调递增；当时，故在上单调递减；4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司当时，在上单调递减；在上单调递增．（II）由（Ⅰ）知当时故在上单调递增；对任意即令因为所以在上单调递增；所以即在上恒成立故令则又因为所以>1当且仅当时取等号，所以，故不等式恒成立的条件是即.所以，实数的取值范围为.变式1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，且．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若...
