学科网（北京）股份有限公司第13讲椭圆中的垂直问题一、问题综述1.椭圆中的垂直问题主要有以下几类：（1）是椭圆上的两个动点，且满足，即椭圆的正交中心角问题，此时有,中心到直线的距离为定值,且；（2）椭圆的正交焦点弦问题，即经过椭圆的焦点有两条直线互相垂直，分别交椭圆于和，则；（3）经过非焦点的两条弦互相垂直问题.2.椭圆中的垂直问题的主要策略：（1）利用斜率之积等于,但要注意斜率是否存在；（2）利用向量数量积等于0.3.几类与垂直相关或可利用与垂直类似的方法的问题：（1）形如“以为直径的圆过原点”，则；（2）形如“椭圆上存在两点关于直线对称”，则直线与直线垂直；（3）形如“直线与椭圆交于两点，为锐角”，则.4.在处理椭圆垂直弦问题时，强化对称意识，可减少运算.二、典例分析类型1：椭圆中的正交中心角问题例1.在中心为的椭圆上任取两点，使，求证：（1）;（2）中心到直线的距离是否为定值？证明：设直线的斜率为①当存在时，且.设，则的方程分别为：，，由方程组得，同理＝，所以.学科网（北京）股份有限公司②当不存在时，，满足.③当时，，满足.所以成立.（2）因为,显然是一个定值.例2.(2019年山东理T22)设椭圆过两点，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由.解析:（1）因为椭圆过两点,所以解得所以椭圆的方程为.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且,设该圆的切线方程为,解方程组得,即,则,即要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,学科网（北京）股份有限公司因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足.综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且.因为,所以,,①当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”.②当时,.③当的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,的取值范围为即:.学科网（北京）股份有限公司类型2：椭圆中的正交焦点弦问题例3.过椭圆的一个焦点作两条互相垂直的弦分别交椭圆于和，求证：.证明：设，方程为，则方程为由方程组得，所以所以所以，同理，所以.例4.(2007年全国Ⅰ理T21)已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为.（1）设点的坐标为，...
