9.7空间向量一、学习目标1.了解空间向量的相关概念；2.理解共面向量定理和空间向量基本定理3.体会空间向量与平面向量的区别.二、知识回顾：1.空间向量基本定理：若三个向量不共面，那么对于空间中任一向量，存在有序实数组，使得，其中{，，}叫做空间向量的一个基底．2.共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得.3.四点共面的判定：对空间任意一点和不共线三点，若满足，则四点共面.ACBOP三、典例分析例1.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简A1O－AB－AD＝________．(2)用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________．【答案】(1)A1A；(2)AB＋AD＋AA1．解析：(1)A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A.(2)因为OC＝AC＝(AB＋AD)．所以OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.例2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC)．(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．【答案】(1)由题知OA＋OB＋OC＝3OM，所以OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，所以MA，MB，MC共面．(2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．例3.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．【答案】(1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝.|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，所以|AC1|＝.(2)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，所以|BD1|＝，|AC|＝，BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，所以cos〈BD1，AC〉＝＝.即BD1与AC夹角的余弦值为.例4.（1）已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a(⊥a－λb)，则实数λ的值为（）A．－2B．－C.D．2【答案】D（2）已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是（）A．2，B．－，C．－3，2D．2，2【答案】A解析：.因为a∥b，所以b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，所以解得或例5.（1）已知,ab是两个相互垂直的单位向量，13c，3,4cacb，则对于任意实数12,tt，12ctatb的最小值是（）A．5B．7C．12D．13【答案】C解析：；（2）已...
