2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）第7章概率初（续）7.２期望（第2课时）２期望随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望（ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ）：定义如果随机变量X的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均：例４（１）掷一颗骰子，求掷得点数的期望；（２）掷两颗骰子，求掷得点数和的期望解（１）掷一颗骰子，掷得点数X的期望是（２）掷两颗骰子，掷得点数和X的分布为其期望为其中，括号里的每一个表示每一枚硬币抛掷的结果：正面朝（H）或者反面朝上（T）．所以，抛掷n枚硬币的随机试验的样本空间中有个元素．事件X＝k“表示出现k”个正面朝上，即其中有k个H、（n－k）个T的基本事件全体．用选择性必修课程第６章介绍的排列组合方法，X＝K这个事件含有的基本事件数为在n个位置上取k个位置放置H的组合数X的取值范围是K…＝０，１，２，，n，有例５抛掷n枚硬币，用X表示正面朝上的硬币数．求它的分布及期望．解抛掷n枚硬币是一个古典概率模型，其基本事件是有了X的分布，就可以得到X的期望，为当K≥１时，有由选择性必修课程６．５节中所介绍的二项式定理，得所求的期望为掷一颗骰子，掷得点数的期望是３．５，甚至不是一个整数，那么，期望到底有什么意义呢？实际上，期望的意义在多次重复试验中可以明显地体现出来．例如，重复掷一颗骰子n次，所得到的点数分别记为X１，X２…，，Xn，那么，当n很大时，平均点数必定逼近于期望，即成立这个结果类似于在必修课程１２．３节中所述的伯努利大数定律随机变量的期望是一个确定的数，它满足下面两个性质．期望的线性性质１．如果X是一个随机变量，是一个实数，那么E［aX］＝aE［X］．２．如果X、Y是两个随机变量，那么E［X＋Y］＝E［X］＋E［Y］．性质１的证明是容易的，性质２的证明超出所学的知识范围．这两个性质的证明这里均略去，只列出它们的结论．为了方便，我们把一个确定的常数也看作一个随机变量，称为常数随机变量．常数随机变量是确定的，没有随机性，它的期望等于它本身例４（２）中求得点数之和的期望是７，这是通过分布来计算的．更方便的方法是利用期望的性质来计算．用X１、X２分别表示掷第一颗及第二颗骰子得到的点数，那么X１＋X２就是两颗骰子的点数之和．这样，根据期望的线性性质，并利用例４（１）的结果，就得到宋老师数学精品工作室课本练习练习...
