第6章平面向量及其应用6.2.3向量的数量积平面向量数量积的物理背景1力所做的功的计算★如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为其中是物体在位移方向上分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.【1】功W是一个数量，既涉及长度又涉及角度，且只与这两个量有关；【2】当0≤θ＜90°时，W＞0；当θ=90°时，力的方向和位移的方向互相垂直，W=0，力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，既力F做负功.向量的夹角2向量夹角的基本定义两个非零向量和已知两个非零向量，，如图，O是平面上的任意一点，作OA=，OB=，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.[0,π]与同向与反向与同向，记作向量的夹角2对两向量，夹角的理解（1）根据向量夹角的定义，两非零向量夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样两向量所成的角才是这两个向量的夹角（2）例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA与AB的夹角，∠BAD才是CA与AB的夹角.其中AD是CA平移所得.（3）向量与之间的夹角θ的取值范围是[0，π]，这与两直线夹角的范围是不一样的(向量有方向)，注意从定义上理解.（5）向量与的夹角也可以表示为平面向量数量积的概念3平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(也叫内积)，记作，即【规定】零向量与任一向量的数量积为0（2）向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定.（1）在书写数量积时，与之间用实心圆点“·”连接，不能写成“×”,更不能不写.（3）设两个非零向量之间的夹角为θ，则当θ=0°时，；当θ为锐角时，；当θ为直角时，；当θ为钝角平面向量数量积的概念3①两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，其结果是数量(而不是向量)，可以为正，可以为负，也可以为零.②前面学习的向量的加法、减法和数乘，其结果全都是向量，要注意这两种不同运算的区别.③我们规定了与任意向量的数量积为0，但由=0，不能推出或一定是零向量，这是因为两个向量垂直时，其夹角为90°，此时，故也有=0.④要注意=0，但0平面向量数量积的概念3投影如图①，设和是两个非零向量，AB=，CD=，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影...
