5.7数列的综合问题一、学习目标1.巩固等差数列、等比数列的知识；2.巩固数列通项公式的求法；3.巩固数列前项和的求法；4初步体会数列中的不等式问题.二、知识要点常见题型：1.数列的通项和求和问题；2.与数列相关的不等式问题；3.数学文化中的数列题．三、典例分析例1．（1）如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（）A．46B．47C．48D．49（2）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，按此规律类推下去，第个图形对应的点数为______，若这些数构成一个数列，记为数列，则_____．【答案】（1）C；（2），.解析：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1，2，4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以.（2）记第个图形的点数为，由题意知，，，，…，，累加得，即，所以．又，所以．例2．设数列的前项和为.已知，，，.（Ⅰ）求通项公式；（Ⅱ）求数列{||}的前项和.【答案】（Ⅰ）由题意得，则又当时，由，得，于是.（Ⅱ）设，，.当时，由于，故.设数列的前项和为，则.当时，，所以例3．已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；综上所述，.例4．已知数列和满足.若为等比数列，且（1）求与；（2）设．记数列的前项和为.（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．【答案】（1）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以，即，故；（2）（i）由（1）知，，所以；（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．例5.已知数列满足，，，．（1）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（2）若为等差数列，公差，证明：，．【答案】（1）依题意，而，即，由于，解得，所以，于是，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列...
