求导法则及其应用一、选择题1．若f(x)＝，则f(x)的导数是()A.B.C.D.2．函数f(x)＝x＋xlnx在(1,1)处的切线方程为()A．2x＋y－1＝0B．2x－y－1＝0C．2x＋y＋1＝0D．2x－y＋1＝03．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A．2B.C．－D．－24．函数y＝(2019－8x)3的导数y′＝()A．3(2019－8x)2B．－24xC．－24(2019－8x)2D．24(2019－8x)2二、填空题5．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.6．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．7．已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝________.三、解答题8．已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，求a的值．9．已知点P是曲线y＝x2－lnx上一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．10．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．1．解析：f′(x)＝＝.答案：A2．解析：∵f′(x)＝(x＋xlnx)′＝1＋x′lnx＋x(lnx)′＝1＋lnx＋1＝2＋lnx，∴f′(1)＝2＋ln1＝2，∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案：B3．解析：∵y＝＝1＋，∴y′＝－，∴y′|x＝3＝－.∴－a×＝－1，即a＝－2.答案：D4．解析：y′＝3(2019－8x)2×(2019－8x)′＝3(2019－8x)2×(－8)＝－24(2019－8x)2.答案：C5．解析：f′(x)＝·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝.答案：6．解析：设P(x0，y0)．∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx.∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e)．答案：(e，e)7．解析：∵f′(x)＝f′cosx－sinx，∴f′＝f′cos－sin＝－1，∴f′(x)＝－cosx－sinx，∴f′＝－cos－sin＝－.答案：－8．解析：由y＝x＋lnx，得y′＝1＋，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，所以a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.9．解析：过P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P(x0，x－lnx0)，则k＝y′|x＝x0＝2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴点P的坐标为(1,1)．∴dmin＝＝.10．解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.∴a的取值范围为∪.
