导数及其几何意义一、选择题1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b2．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且lim＝1，则f′(x0)等于()A．1B．－1C．－D.3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4B．－4C．－2D．24．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是()A．1B．－1C．±1D．3二、填空题5．在曲线f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，则：(1)＝____________；(2)f′(1)＝____________.6．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是________．7．求曲线y＝x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为____________．三、解答题8．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．9．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，求点P的坐标．10．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．1．解析：∵f′(x0)＝lim＝lim＝lim(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.答案：C2．解析：∵lim＝lim＝－3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－.答案：C3．解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.答案：D4．解析：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝lim[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1.答案：C5．解析：(1)＝＝＝2＋Δx.(2)f′(1)＝lim＝lim(2＋Δx)＝2.答案：(1)2＋Δx(2)26．解析：因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝lim＝lim(Δx－4)＝－4，所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.答案：4x＋y－2＝07．解析：∵y＝x2－2，∴y′＝lim＝lim＝lim＝x.∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.答案：45°8．解析：f′(－2)＝lim＝lim＝lim＝－，∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.9．解析：设P(x0，y0)，则y′＝lim＝lim(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，所以点P处的切线的斜率为2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．10．解析：设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则f′(x)＝lim＝3x2－4x.由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，∴切点坐标为或(2,3)．当切点为时，有＝4×＋a，∴a＝.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，因此切点坐标为或(2,3)，a的值为或－5.
