5.5数列的求和问题一、学习目标1.巩固等差数列、等比数列的前项和；2.掌握常见的数列求和方法．二、知识要点求数列通项公式的类型和方法：1.公式求和法：适用于等差数列与等比数列或可化为等差等比数列的求和方法；(1)等差数列求和公式：Sn＝＝na1＋d．(2)等比数列求和公式：Sn＝2.分组求和法：适用于数列，而、分别是可求和数列；3.错位相减法适用数列，而、分别是等差数列与等比数列；4.裂项相消法：适用于数列的通项可拆分为两项之差，且在求和时能相互抵消；5.倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．6．并项求和法：把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现或呈现周期性．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解．三、典例分析例1（1）等差数列的前项和为，且，则（）A．48B．88C．96D．176（2）已知各项均为正数的等比数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】（1）B；（2）A.例2.已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）设等比数列的公比为，因为，所以.因为是和的等差中项，所以，即，解得，所以.（2）因为，所以为等差数列.因为，所以公差.故.所以.例3．已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.（1）求和的通项公式；（2）设，，求数列的前项和.【答案】（1）设的公比为q,的公差为d,由题意，由已知,有消去得解得，所以的通项公式为，的通项公式为．（2）由（1）有,设的前项和为，则，，两式相减得，所以．例4．设为数列{}的前项和.已知＞0，=.（1）求{}的通项公式；（2）设，求数列{}的前项和.【答案】（1）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3,两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an）， an＞0，∴an+1﹣an＝2， a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，{∴an}的通项公式an＝3+2（n1﹣）＝2n+1：（2） an＝2n+1，∴bn（），∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.例5.已知数列是递增的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，，求数列的前项和．【答案】（1）设等比数列的...
