2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）第5章导数及其应用5.3导数的应用（第3课时）利用导数研究函数的最值和二次函数在许多理论和现实的问题中，常常需要求函数的最大值或者最小（统称为最值）．最值反映了函数在定义域上整体的情况，而极值则仅考虑函数在某点附近的局部特征．有时最值和极值是一致的，如函数y＝ｓｉｎx；但有时却不一致，如图５-３-２所示的函数．当然，一个函数的极值与最值可能都不存在，如函数．但是，如果考虑一个在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小值一定存在．3yx利用导数研究函数的最值上面所说的一个区间I上的连续函数，可以直观地理解为在区间I上图像为一条连绵不断的曲线的函数．更精确及普适的连续函数的定义，要用到严格的极限语言，在高等数学中才能给出．29.1fxxxyfx例已知（）＝-＋６，求函数（）在区间［０，７］上的最大值与最小值解由本节例６可知，函数的驻点为x＝３，比较f（３）＝８，f（０）＝－１，f（７）＝－８，可知该函数在［０，７］上的最大值是８，最小值是－８，如图５-３-３所示21fxxx（）＝-＋６在例９中，我们对驻点处与区间两端点处的函数值进行比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．在导数存在的前提下，闭区间上的连续函数的最值原则上都可以按照这样的方法求出．3110.=x-x+23fxyfx例已知（），求函数（）在［０，３］上的最大值与最小值．3121()=x-x+213fxx解由本节例８可知，函数的两个驻点为=-1，x134(1)=(0)=314(x-x+233xfff由于驻点＝-1不在区间［０，３］内，因此只需比较，２，３)＝８，可知函数在［０，３］上的最大值是８，最小值是利用导数研究二次函数2axaaa导数为研究函数的单调性、极值与最值提供了有力的工具．利用这一工具，我们可以对熟悉的二次函数y=+bx+c（０）进行回顾和再认识．以下仅讨论＞０的情况，＜０的情况也可以用类似的方法获得相应的结果．2axa首先，可以利用导数的正负来判断函数y=+bx+c（＞０）的单调性，同时求出它的极值．20(()())2fxaxfxaxbfxbxa记=+bx+c．对该函数求导，可得＝２＋，令＝０，解得函数有唯一驻点＝-．可以列表如下：20b()---+)224224byfxaabbacbyfxxfaaa因此，函数的单调减区间为(，),单调增区间为(，＝（）在＝-处取得极小值（-）=．这个极小值也是该函数在区间（－，＋）上的最小值．知道了该函数的单调区间之后，结合函数的零点，就可以解决相应的不等式问题．...
