2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）第5章导数及其应用5.3导数的应用（第4课时）利用导数解决实际问题前面已经看到，导数可用来研究函数在某区间上的最大（小）值，从而对解决何时利润最大、何时用料最省等优化问题发挥着重要作用例11.图５-３-４是一张边长为３的正方形硬纸板，现把它的四个角上裁去边长为x的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当裁去的小正方形边长x发生变化时，纸盒的容积v会随之发生变化．当x在什么范围内变化时，容积v随着x的增大而增大？x在什么范围内变化时，容积v随着x的增大而减小？当x取何值时，容积v最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）23,(0,)2x解由题意，得V(x)=x(3-2x)2249x求导可得V(x)=12x212132490x=22x为求驻点，令12x，得x=与，后者不在定义域内，舍去．113()2221V2132211=V22xVxxVxxxVxx容易算出，当（0，）时，＞０；当（，）时，（）＜０．因此，当在0到之间变化时，容积随着x的增大而增大；当在到之间变化时，容积随着的增大而减小；而当时，容积（）＝２是极大值，也是最大值．2,12.14CC=qCqCCqCqqqq例已知某商品的成本与产量满足函数关系＝其中＝100+q，并定义平其中均成本C=C（１）比较C′（１０）和C′（２０），解释两者的大小代表了怎样的实际意义；（２）当产量为多少时，平均成本最少？213.1bh6hb例如图５３５，将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁．问：矩形的高和宽应如何选择，才能使梁的抗弯强度W=最大？在很多情形下（如例１１与例１３），由实际问题本身的意义，可知函数在区间内部必定存在最大值（或最小值），而区间内部只有一个驻点，由此即可断定：该函数在区间内部的唯一驻点处取得最大值（或最小值）例14.一艘船航行所需的燃料费与船速的平方成正比．如果船速是１０ｋｍ／ｈ，那么每小时的燃料费是８０元．已知该船航行的其他费用为每小时４８０元，在１００ｋｍ的航程中，保持怎样的船速可使航行总费用最少？（结果精确到１ｋｍ／ｈ）所以，在１００ｋｍ的航程中，保持约２４ｋｍ／ｈ的船速可使航行总费用最少宋老师数学精品工作室课本练习宋老师数学精品工作室215CqCqpqp１．某商品的成本和产量满足函数关系５００００＋２００，该商品的销售单价和产量满足函数关系＝２４２００-q．问：要使利润最大，应如何确定产量？２．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图）...
