2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）第5章导数及其应用５.２导数的运算（第1课时）基本初等函数的导数在上一节的学习中，我们已经了解到函数在某点处导数的概念．从导数的定义中不难发现：在导数存在的前提下，对于不同的X０，总有一个确定的导数值f′（X０）与之对应．换句话说，如果用x表示自变量，那么f′（x）是一个关于x的函数．我们将f′（x）称为f（x）的导函数（也简称为导数），记作求一个函数的导（函）数的过程常常简称为求导．如果能够求出某个函数的导数f′（x），那么，求该函数在某点处导数的问题就可以通过简单的代入求值来解决．１基本初等函数的导数根据导数的定义，可以求出一些基本初等函数的导数．例１求常数函数f（x）＝C的导数．解当h≠０时，因此，当h趋近于０时，对于例１中的函数f（x），坐标平面中的曲线y＝f（x）是平行于x轴的直线y＝C，连接该直线上任何两点的割线都是这条直线本身，从而过该直线上任何一点的切线也是这条直线本身．由此可见，该直线上任何一点的切线的斜率都是０，即对任何X０，f′（X0）＝０．由此推出f′（x）＝０．这是从导数的几何意义诠释了例１的结论．类似的分析可以用于一次函数f（x）＝kx＋b：直线y＝＝kx＋b上任何一点的切线都是这条直线本身，从而都具有斜率k，即对任何x０，f′（x０）＝k．由此推出f′（x）＝k．从几何上推出的这个结论可用导数定义验证，如例２．例２求一次函数f（x）＝kx＋b的导数．解当h≠０时，因此，当h趋近于０时，例３求下列幂函数的导数．解（１）当h≠０时，因此，当h趋近于０时，（２）当h≠０时，因此，当h趋近于０时，（3）当h≠０时，因此，当h趋近于０时，为了更为便捷地处理求导问题，我们通常将以下基本初等函数的导数作为公式使用：例4已知函数求f′（２）．解因为所以例５求正弦函数f（x）＝ｓｉｎx的驻点．解因为f′（x）＝ｃｏｓx，而ｃｏｓx＝０的解是所以当且仅当时，正弦函数f（x）＝ｓｉｎx有驻点．探究：１．说明可把二项式定理改写为的形式，其中q是关于a、b的多项式．据此证明当n是正整数时的幂函数的导数公式２．在我们熟悉的基本初等函数中，哪些函数的图像存在水平切线？哪些函数的图像在所有点处切线斜率始终大于０？尝试从导数公式和函数图像两种角度进行探究．宋老师数学精品工作室课本练习练习５．2（１）１．用导数的定义求函数的导数．２．用公式求下列函数的导数：３．求余弦函数f（x）＝ｃｏｓx在处的导...
