1 常微分方程的基本知识.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1常微分方程常微分方程基本知识线性微分方程组理论高阶线性微分方程微分方程定性方法初步20078年月南京航空航天大学理学院数学系2常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。常微分方程20078年月南京航空航天大学理学院数学系3微分方程:联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.20078年月南京航空航天大学理学院数学系4例1镭的衰变规律:0,0,,.tRt设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比且已知时镭元素的量为克试确定在任意时该时镭元素的量20078年月南京航空航天大学理学院数学系5解:(),tRt设时刻时镭元素的量为,)()(dttdRtR对时间的变化律是由于镭元素的衰变律就:衰变律可得依题目中给出镭元素的,kRdtdR0)0(RR.)(,0随时间的增加而减少是由于这里tRk:解之得kteRtR0)(即镭元素的存量是指数规律衰减的.20078年月南京航空航天大学理学院数学系6将某物体放置于空气中,在时刻0t时,测得它的温度为,1500Cu10分钟后测量得温度为试决定此物.1001Cu体的温度和时间的关系.ut例2物理冷却过程的数学模型Newton冷却定律:1.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;2.在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.20078年月南京航空航天大学理学院数学系7设物体在时刻的温度为根据导数的物理意义,则温度的变化速度为由Newton冷却定律,得到t).(tu.dtdu),(auukdtdu其中为比例系数.此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.0k注意:此式子并不是直接给出和之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知...