1 n维欧氏空间中的点集.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1N维欧氏空间点集的初步知识度量空间与n维欧氏空间度量空间中的各类点集20078年月南京航空航天大学理学院数学系2本章将研究一种特殊的集合——空间中的点集。所谓空间，是一类具有某种结构的集合，往往成为数学研究的载体和对象。分析学科所关心的空间的结构包括度量、范数、开集、闭集等。本章的主要内容为度量空间，特别是n维欧氏空间中的各类点集，这将为我们研究新的积分奠定基础。20078年月南京航空航天大学理学院数学系31.度量空间与n维欧氏空间度量，也称距离，是空间理论的基本概念，下面给出它的定义：定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x,y，都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足：（1）正定性：（2）三点不等式：yxyxdyxd0),(,0),(并且),(),(),(,zydzxdyxdXz称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间或距离空间。由性质(2)立刻可以得到度量的对称性，即d(x,y)=d(y,x).若(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也是一个度量空间，称为(X,d)的子空间。例1欧氏空间n例2连续函数空间],[baC20078年月南京航空航天大学理学院数学系4度量空间中点集的一些基本概念——邻域定义(邻域)：),(|0PPdP0P0P距离空间(X,d)中所有和定点的距离小于定数全体，即集合称为点的邻域，记作)(),(00PUPU或显然，在,,,321分别是以为中心以为半径的开区间、),(0PU0P开圆和开球。邻域具有如下的基本性质：的点的(1))(PUP(2)对于P的两个邻域),(),(21PUPU存在邻域)()()(213PUPUPU(3)对于),(PUQ存在Q的邻域)()(PUQU(4)对于,QP存在P和Q的邻域),(),(QUPU使得)()(QUPU20078年月南京航空航天大学理学院数学系5点列的极限(I)式定义：N1nnP为度量空间(X,d)中一点列，若对于任意的,0存在自然数N，使得n>N时有,),(0PPdn则称该点列收敛于,0P记作.lim0PPnn(II)邻域式定义：若对于0P的任意邻域),(0PU存在N，使n>N时有),(0PUPn则称该点列收敛于.0P性质：1.点列的极限是唯一的；2.N维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛；3.点列的收敛满足线性；4.N维欧氏空间中的收敛点列等价于Cauchy点列20078年月南京航空航天大学理学院数学系6点集的直径：一个非空点集E的直径定义为).,(sup)(,QPdEEQP有界点集：一个非空点集E称为有界集合，若.)(E直径及有界点集点集的距离两个非空点集A,B的距离定义为...