数学 人教A版 选择性必修 第二册.DOC

4．1　数列的概念 第一课时　数列的 概念与简单表示法 1．通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、 图象、通项公式)． 2.了解数列是一种特殊函数． 　 3.通过掌握数列的概念及表示，培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养． 　　　　　　　　　　 知识点一　数列的概念 (一)教材梳理填空 1．定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(或称为首项)，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，…，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项． 3．数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，其中n∈N *. (二)基本知能小试 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判断正误 (1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．(　　) (2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．(　　) (3)数列的项可以相等．(　　) (4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．所有正奇数的立方按从小到大的顺序组成数列，其前3项为________． 答案：1,27,125 知识点二　数列的分类与通项公式 (一)教材梳理填空 1．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 有穷数列 项数有限的数列 个数 无穷数列 项数无限的数列 按项的变 化趋势 递增数列 从第项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)数列1,1,1，…是无穷数列．(　　) (2)所有的自然数构成的数列均为递增数列．(　　) (3)有些数列没有通项公式．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项． 解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3(舍去)． 答案：5 3．若数列的通项公式为an＝则a2·a3等于________． 答案：20 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　数列的概念及分类 [学透用活] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说，构成数列的元素是数，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置上． (2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：项是指出现在这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即an＝f(n)；而项数是指这个数列共有多少项． [典例1]　下列说法正确的是(　　) A．{0,1,2,3,4,5}是有穷数列 B．所有有理数能构成数列 C．－2，－1,1，x,3,4,5是一个项数为7的数列 D．数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列 [解析]　紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件．因为{0,1,2,3,4,5}是集合，而不是数列，故A错误；所有有理数能构成数列，故B正确；当x代表数时，它是项数为7的数列；当x不代表数时，它不是数列，故C错误；数列1,2,3,4，…，2n，共有2n项，是有穷数列，所以D错误． [答案]　B 1．有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． 2．数列单调性的判断 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an<an＋1，则是递增数列；若满足an>an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列．　　 [对点练清] 　[多选]下面四个结论中正确的是(　　) A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数 B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 C．数列的项数是无限的 D．数列的通项公式是唯一的 解析：选AB　数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C错；数列的通项公式可能不唯一，比如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项公式可以是an＝sin ，也可以是an＝cos，D错．故选A、B. 题型二　由数列的前几项求通项公式 [学透用活] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数表达式． (2)像不一定所有的函数关系都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． (3)掌握以下数列的通项公式： 数列 通项公式 1,2,3,4，… an＝n 1,3,5,7，… an＝2n－1 2,4,6,8，… an＝2n 1,4,9,16，… an＝n2 1,2,4,8，… an＝2n－1 －1,1，－1,1，… an＝(－1)n 9,99,999,9 999，… an＝10n－1 1，，，，… an＝ [典例2]　写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33，…； (2)，2，，8，，…； (3)2，－，，－，，－，…； (4)5,55,555,5 555，…. [解]　(1)因为a1＝3＝21＋1，a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，a4＝17＝24＋1，a5＝33＝25＋1，…，所以该数列的一个通项公式为an＝2n＋1. (2)观察可知，各项都可以化成分母为2，分子为对应项数的平方的形式，所以该数列的一个通项公式为an＝. (3)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，－，，－，…，再把各分母分别加上1，数列又变为，－，，－，…，所以an＝. (4)因为数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式是an＝10n－1，所以将题中数列各项改写可得5＝×9,55＝×99,555＝×999,5 555＝×9 999，…，由此可得该数列的一个通项公式为an＝(10n－1)． [深化探究] 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形． (1)从图(2)开始观察每个图案从上往下的小正方形个数有什么规律？ 提示：按照1,3,5,7，…，1的顺序分布． (2)按照此图规律，f(6)为多少？ 提示：f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.　　 [方法技巧]　由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)对于分式形式的数列，可以分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式． (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳． [对点练清] 1．[与数值有关的通项公式]数列0，，，，，…的一个通项公式是(　　) A．an＝ B.an＝ C．an＝ D.an＝ 解析：选C　已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝ . 2．[与图形有关的通项公式]如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________． 解析： 我们把图案按如下规律分解： 这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2. 答案：an＝4n＋2 题型三　利用通项公式确定数列的项 [学透用活] [典例3]　已知数列的通项公式为an＝2n2－n. (1)求这个数列的第5项，第10项． (2)试问：15是不是{an}中的项？3是不是{an}中的项？ [解]　(1)∵an＝2n2－n， ∴当n＝5时，a5＝2×52－5＝45； 当n＝10时，a10＝2×102－10＝190. (2)an＝2n2－n，令an＝15，则有2n2－n－15＝0， 解得n＝3或n＝－(舍去)． 故15是该数列的第3项． 令an＝3，则有2n2－n－3＝0，该方程不存在正整数解，故3不是该数列的项． 已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程.若解得n为正整数k，则该数为数列{an}的第k项；若关于n的方程无解或有解但为非正整数解，则该数不是数列{an}中的项．　　 [对点练清] 1．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项． 解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝， ∴an＝. 由＝2⇒3n－1＝20⇒n＝7， ∴2是该数列的第7项． 答案：7 2．已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N *)，则 (1)这个数列的第4项是________； (2)65是这个数列的第________项． 解析：(1)由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12. (2)由an＝n2－4n－12＝65，得n＝11或n＝－7(舍去)， ∴65是第11项． 答案：(1)－12　(2)11 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a2 020； (3)判断2 020是否为数列{an}中的项？ 解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)， 则有 解得k＝4，b＝－2. ∴an＝4n－2. (2)a2 020＝4×2 020－2＝8 078. (3)令2 020＝4n－2， 解得n＝505.5∉N*， ∴2 020不是数列{an}的项． 二、应用性——强调学以致用 2．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，求此数列的通项公式． [析题建模]　→→→→ 解：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是1,2,3，…，n，…，则数列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，….已知对任意的n∈N*，an＝n2. (1)求(a5)*； (2)求((an)*)*. [课下过关检测] 1．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的(　　) A．第100项 B.第12项 C．第10项 D.第8项 解析：选C　∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)． 2．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，… B．sin ，sin ，sin ，sin ，… C．－1，－，－，－，… D．1,2,3,4，…，30 解析：选C　数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列． 3．数列，，，，…的第10项是(　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意知数列的通项公式是an＝(n∈N*)，所以a10＝＝.故选C. 4．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为(　　) A．an＝(10n－1) B.an＝(10n－1) C．an＝ D.an＝(10n－1) 解析：选C　因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，故选C. 5．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　) A. B.5 C．6 D. 解析：选B　a1·a2·a3· … ·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log2 32＝log225＝5. 6．已知数列{an}的前四项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________． 解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2,1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n. 答案：an＝10n＋n 7．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项． 解析：令an＝n2－8n＋12<0， 解得2<n<6， 又因为n∈N*， 所以n＝3,4,5，一共有3项． 答案：3 8．已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式： ①an＝；②an＝；③an＝sin2；④an＝；⑤an＝⑥an＝＋(n－1)(n－2)．其中可以作为数列{an}的通项公式的有________(填序号)． 解析：判断一个式子是否可以作为数列的通项公式，只要把适当的n代入，验证是否满足即可，若要确定它是通项公式则必须加以证明．将n＝1,2,3,4分别代入验证可知①③④均可作为数列{an}的通项公式，而②⑤⑥不可作为数列{an}的通项公式． 答案：①③④ 9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝. 解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图1. (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图2. 10．已知数列{an}中，a1＝a＞0，an＋1＝f(an)(n∈N*)，其中f(x)＝. (1)求a2，a3，a4； (2)猜想数列{an}的一个通项公式． 解：(1)∵a1＝a，an＋1＝f(an)， ∴a2＝f(a1)＝，a3＝f(a2)＝＝， a4＝f(a3)＝. (2)根据(1)猜想{an}的一个通项公式为an＝(n∈N*)． 1．[多选]一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是(　　) A．an＝n B.an＝n3－6n2＋12n－6 C．an＝n2－n＋1 D.an＝ 解析：选ABD　对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2＋12n－6，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于C，若an＝n2－n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意． 2．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是(　　) A．28 B.29 C．32 D.36 解析：选D　设3,6,10,15,21，…为数列{an}，则an＝，当n＝7时，a7＝＝36. 3．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an＞0成立的最大正整数n的值为________． 解析：由an＝19－2n＞0，得n＜.∵n∈N*，∴n≤9. 答案：9 4．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－. (1)求{an}的通项公式． (2)－是{an}中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？ 解：(1)∵an＝pn＋q，a1＝－，a2＝－， ∴解得 因此{an}的通项公式是an＝n－1. (2)令an＝－，即n－1＝－， ∴n＝，解得n＝8.故－是{an}中的第8项． (3)由于an＝n－1，且n随n的增大而减小， 因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列． 5．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个．试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所组成的数列，画出该数列的图象，判断该数列的增减性，并指出最大项． 解：将A，B之间所有站按1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列7,12,15,16,15,12,7,0，列表如下： 站号 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余邮件数 7 12 15 16 15 12 7 0 该数列的图象如图． 数列在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的，故该数列的最大项是第4项，为16. 第二课时　数列的 通项公式与递推公式 1．了解数列的递推公式． 2.了解数列的前n项和Sn与an的关系并应用． 　 3.通过应用数列的通项公式与递推公式求通项，培养学生逻辑推理、 数学运算的核心素养． 　　　　　　　　　　 知识点一　数列的递推公式 (一)教材梳理填空 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)3,3.1,3.14,3.142，…可以写出递推公式．(　　) (2)2,4,6,8,10，…为正偶数组成的数列，其递推公式可以写成：a1＝2，an＋1＝an＋2.(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋1，则a5＝(　　) A．0 B.3 C．5 D.8 解析：选D　利用递推公式可得 a3＝a1＋a2＝1＋2＝3， a4＝a2＋a3＝2＋3＝5， a5＝a3＋a4＝3＋5＝8. 3．若数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 020的值为(　　) A. B.－1 C．2 D.1 解析：选C　由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列． 而2 020＝673×3＋1，故a2 020＝a1＝2. 知识点二　数列的前n项和Sn与an的关系 (一)教材梳理填空 1．数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 2．数列的前n项和Sn与通项an的关系 对于任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都有这样的关系：an＝) (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)已知数列{an}的前n项和Sn，若Sn＝n2－n，则an＝2n－2.(　　) (2)已知数列{an}的前n项和Sn，若Sn＝3n－2，则an＝2×3n－1.(　　) 答案：(1)√　(2)× 2．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝(　　) A．1 B.9 C．10 D.55 解析：选A　令n＝9，m＝1，则S9＋S1＝S10，即a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1. 3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________． 解析：法一：由Sn＝n2，得an＝2n－1，于是a8＝2×8－1＝15. 法二：a8＝S8－S7＝82－72＝15. 答案：15 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　由数列的递推关系求通项 [探究发现] 1．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？ 提示：成立．an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝1＋2(n－1)＝2n－1. 2．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1···…·＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2)，则它的通项an是什么？ 提示：成立．an＝a1···…·＝1×××…××＝.　　　 [学透用活] [典例1]　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an. [解]　(1)∵an＋1－an＝， ∴a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3＝， …， an－an－1＝. 以上各式累加得， an－a1＝＋＋…＋ ＝1－＋－＋…＋－ ＝1－. 又a1＝－1，∴an＋1＝1－， ∴an＝－. (2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)， ∴＝， 又a1＝1，∴an＝···…···a1＝···…···1＝. (1)给出了递推公式求通项公式，常用的方法有两种：一是从特例入手，归纳猜想其通项公式；二是从一般规律入手，其常用方法有迭代法、累加(乘)法等． (2)递推公式是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.用递推公式给出一个数列，必须给出以下两点：①基础——数列{an}的第1项或前几项；②递推关系．　　 [对点练清] 1．[累乘法]若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________. 解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1⇒＝，则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5 050. 答案：5 050 2．[累加法]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，试探究数列{an}的通项公式． 解：∵an＋1＝，∴an＋1an＝2an－2an＋1. 两边同除以2an＋1an，得－＝. ∴－＝，－＝，…，－＝. 把以上各式累加得－＝. 又a1＝1，∴an＝. 故数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)． 题型二　由前n项和Sn求通项公式an [学透用活] [典例2]　设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3，求{an}的通项公式． [解]　因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3. 当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减得2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即an＝3n－1，所以an＝ (1)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1表示． (2)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an＝　　 [对点练清] 1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n，则其通项an＝________；若它的第k项满足5＜ak＜8，则k＝________. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10. 注意到n＝1时也满足a1＝2×1－10， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－10. 5＜ak＜8即5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9. 又k∈Z，所以k＝8. 答案：2n－10　8 2．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，求数列{an}的通项公式． 解：由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 可得[Sn－(n2＋n)]·(Sn＋1)＝0. 又{an}为正项数列，所以Sn＝n2＋n. 当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n. 注意到n＝1时也满足a1＝2×1， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n. 题型三　数列中的最大项、最小项 [学透用活] [典例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． [解]　(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数． (2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝2－， 可知对称轴方程为n＝＝2.5. 又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值， 且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 法二：设第n项最小，由 得 解不等式组，得2≤n≤3， ∴n＝2或3时an有最小值且a2＝a3， ∴最小值为22－5×2＋4＝－2. 关于数列中的最大(小)项问题的解决策略 (1)利用数列单调性可以求数列中的最大(小)项问题． 常见方法： ①构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值． ②利用(n≥2)求数列中的最大项an；利用(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定． (2)利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列{an}递增⇔an＋1＞an恒成立；数列{an}递减⇔an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．　　 [对点练清] 　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由． 解：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….∵当n≥3时，＝×＝＝2<1，∴an＋1<an，即n≥3时，{an}是递减数列．又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝. ∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．已知f(x)＝.各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2 018＝a2 020，则a20＋a11的值是________． 解析：由已知得an＋2＝， 又a2 018＝a2 020＝， 所以a＋a2 018＝1，又an＞0， 解得a2 018＝， 从而a2 018＝＝，a2 016＝. 同理可得a2 014＝a2 012＝…＝a20＝. 由于a1＝1， 则a3＝，a5＝，a7＝，a9＝，a11＝. 所以a20＋a11＝＋＝. 答案： 二、应用性——强调学以致用 2.某种生物细胞在实验室的培养过程中，每小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过6 h，由1个这种细胞可以繁殖成多少个细胞？ [析题建模]　 ―→―→ 解：设经过n h，这种细胞由1个可繁殖成an个，细胞的个数形成一个数列{an}． 由题意，细胞每小时分裂一次，得 an＋1＝2an(n≥1，n∈N*)． 由a1＝2，并根据an＋1＝2an得 a2＝4， 依此类推，a3＝23，…，a6＝26＝64. 因此经过6 h，这种细胞由1个可繁殖成64个． 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．定义：F(x，y)＝yx(x＞0，y＞0)．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，若对任意正整数n，都有an≥ak(k∈N*)成立，求ak的值． 解：利用新定义可得an＝＝， 结合函数y＝2x与y＝x2的图象与性质知， 当x＞4时，总有2x＞x2， 即n＞4时，an＞1且数列{an}递增， 因此只需比较n＝1,2,3,4时an的值， 又a1＝2，a2＝1，a3＝，a4＝1， 故ak＝. [课下过关检测]　 1．已知数列{an}满足an＞0，且an＋1＝an，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B.递减数列 C．常数列 D.摆动数列 解析：选B　因为＝＜1，an＞0，所以an＋1＜an，故数列{an}为递减数列． 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，则a3＝(　　) A．－1 B.－2 C．－4 D.－8 解析：选D　∵数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1， ∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D. 3．[多选]数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N* D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 解析：选BC　由已知得，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，经检验，B、C正确． 4．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an，则a3等于(　　) A．5 B.9 C．10 D.15 解析：选D　∵数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an，∴3＝(2－λ)×1，解得λ＝－1，即an＋1＝(2n＋1)·an，∴a3＝(2×2＋1)a2＝5×3＝15.故选D. 5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是(　　) A．9 B.17 C．33 D.65 解析：选C　∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33. 6．已知函数f(x)的部分对应值如下表所示．数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*，点(an，an＋1)都在函数f(x)的图象上，则a2 021的值为________. x 1 2 3 4 f(x) 3 1 2 4 解析：由题知，an＋1＝f(an)，a1＝1.∴a2＝f(1)＝3，a3＝f(a2)＝f(3)＝2，a4＝f(a3)＝f(2)＝1，…，依此类推，可得{an}是周期为3的周期数列，∴a2 021＝a673×3＋2＝a2＝3. 答案：3 7．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，则数列{an}的通项公式为________． 解析：由已知得a1＝1，且 ①－②得，nan＝2n－1，所以an＝. 当n＝1时，此式也成立， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 答案：an＝ 8．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，若对任意n∈N*都有an≥a5，则实数b的取值范围是________． 解析：由题意得n＋≥5＋，所以n－5≥×b，即(n－5)(5n－b)≥0.当n＜5时，b≥5n，所以b≥20；当n＞5时，b≤5n，所以b≤30，因此实数b的取值范围是[20,30]． 答案：[20,30] 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式． 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－1－＝n＋. 当n＝1时，a1＝S1＝≠1＋， 故数列{an}的通项公式为an＝ 10．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)． (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围． 解：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，a＝－7， ∴an＝1＋.结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)． ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. ∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 并结合函数f(x)＝1＋的单调性， ∴5＜＜6， ∴－10＜a＜－8，即a的取值范围为(－10，－8)． 1．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，3] B.(－∞，4] C．(－∞，5) D.(－∞，6) 解析：选D　依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ＜0，即λ＜2(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，注意到当n∈N*时，2(2n＋1)的最小值是6.因此λ＜6.即λ的取值范围是(－∞，6)． 2．数列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，则an＝(　　) A．2n－1 B. C．2n－3 D. 解析：选B　由已知可推得，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，归纳可得an＝. 3．(2020·鞍山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n∈N*，n≥2)，则＝________；a2 020＝________. 解析：分别令n＝2,3可得a2＝1，a3＝.由题意得an－an－1＝an－1(n≥3)，即an＝an－1，所以＝.所以an＝××…×a3＝(n≥3)，所以a2 020＝＝1 010. 答案：　1 010 4．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6. (1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式； (2)求n为何值时an最小． 解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6， 得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6， ∴bn＋1－bn＝2n－6， 当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6， bn－1－bn－2＝2(n－2)－6， … b3－b2＝2×2－6， b2－b1＝2×1－6， 累加得 bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1) ＝n(n－1)－6n＋6 ＝n2－7n＋6. ∴bn＝n2－7n－8(n≥2)， 当n＝1时，b1也适合此式， 故bn＝n2－7n－8. (2)由bn＝(n－8)(n＋1)，得 an＋1－an＝(n－8)(n＋1)． ∴当n＜8时，an＋1＜an； 当n＝8时，a9＝a8； 当n＞8时，an＋1＞an. ∴当n＝8或n＝9时，an的值最小． 5．小张和小王两位同学课余时间玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”．有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有n(n≥3)个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)．把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过